Matematica.  —  Sulle  funzioni  iper •ellittiche  singolari.  Nota 
di  G-.  Scorza,  presentata  dal  Corrisp.  G.  Castelnuovo. 
Chiunque  conosca  la  teoria  delle  funzioni  iperellittiche  singolari  a  due 
variabili  sa  che  in  essa  compie  un  ufficio  essenziale  la  considerazione  di  un 
certo  invariante  introdotto  dal  sig.  Humbert  nella  prima  (l)  delle  tre  Me- 
morie che  egli  ha  dedicate  allo  studio  di  quelle  funzioni.  E  la  proprietà 
fondamentale  di  cui  gode  codesto  invariante,  stabilita  pure  dallo  stesso  scien- 
ziato, consiste  nel  fatto  che,  a  seconda  del  segno  attribuitogli  per  definizione, 
esso  è  un  numero  (intero)  essenzialmente  positivo  o  essenzialmente  negativo. 
Gli  studi  del  sig.  Humbert,  che  conducono  a  questa  proposizione,  per 
quanto  spontanei  nel  concetto  direttivo,  sono  tutt' altro  che  immediati  nel  loro 
sviluppo;  e  d'altra  parte  il  pnnto  di  vista,  dal  quale  egli  si  pone,  non  è 
il  più  adatto  a  mostrare  il  vero  significato  e  la  grande  importanza  delle 
suo  considerazioni. 
Spetta  ai  sigg.  Bagnerà  e  De  Pranchis  il  merito  di  aver  messo  nella 
luce  migliore  la  nozione  di  invariante  introdotta  dal  sig.  Humbert;  ma  la 
semplice  dimostrazione  del  teorema  del  sig.  Humbert,  che  essi  danno  inci- 
dentalmente nel  n.  8  della  loro  Memoria  sul  numero  q  di  Picard  (2),  è  con- 
dotta sulla  stessa  linea  direttiva  di  quella  originale,  e  quindi  lascia  anche 
essa  il  desiderio  di  trovarne  una  che  penetri  più  addentro  nell'  intimo  fon- 
damento di  quel  teorema. 
Infine  vi  è  da  osservare  che  la  conoscenza  di  una  tal  dimostrazione  si 
rivela  assolutamente  necessaria  quando  si  ponga  il  problema  di  costruire 
una  teoria  delle  funzioni  abeliane  singolari  a  un  numero  qualunque  di  va- 
riabili indipendenti. 
È  appunto  questa  la  ragione  principale  che  ci  ha  mossi  a  ritrovare  il 
teorema  del  sig.  Humbert  per  una  via  più  adatta  alla  generalizzazione;  e 
quella  che  qui  esponiamo  sembra  che  nulla  lasci  a  desiderare  anche  dal 
lato  della  perspicuità  e  dell'eleganza.  Faremo  vedere  infatti  che  quando  si 
sia  data  una  conveniente  interpretazione  geometrica  del  teorema  di  esistenza 
delle  funzioni  iperellittiche  a  due  variabili,  la  proposizione  in  discorso  si 
riduce  al  fatto  semplicissimo  che  una  retta  (reale),  la  quale  passi  per  un 
punto  interno  a  una  quadrica  (a  punti  ellittici),  ha  sempre  con  essa  due 
punti  (reali)  a  comune. 
(')  Humbert,  Sur  les  fonctìons  abéliennes  singulti:  es  (Journal  de  Mathématiques, 
au.  1899). 
(a)  Bagnerà  e  De  Franchis,  Le  nombre  q  de  M.  Picard,  ecc.  (Rendie.  del  Circ.  Mat. 
di  Palermo,  t.  30). 
