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I  complessi  lineari  passanti  per  v  e  v  costituiscono  un  sistema  li- 
neare oo 3  ;  quindi  possono  rappresentarsi  (omograficamente)  sui  punti  di 
uno  spazio  a  tre  dimensioni  S3 ,  e  la  rappresentazione  può  supporsi  fatta  iu 
tal  modo  che  i  complessi  reali  del  sistema  oo  3  abbiano  per  imagini  i  punti 
reali  dell'  S3 . 
In  questo  S3  i  punti  imagini  dei  complessi  lineari  speciali  apparte- 
nenti al  sistema  saranno  quelli  di  una  quadrica  reale  Q  con  infiniti  punti 
reali,  che  fornirà  pure  un'  imagine  della  congruenza  lineare  avente  per  di- 
rettrici le  rette  v  e  v.  Poiché  questa  congruenza  è  a  direttrici  imaginarie 
coniugate  di  2a  specie,  la  quadrica  Q  è  irriducibile  ed  è  a  punti  ellittici. 
Segue  che  Q  divide  la  totalità  dei  punti  reali  di  S3 ,  che  non  le  ap- 
partengono, in  una  totalità  di  punti  interni  e  in  una  totalità  di  punti 
esterni. 
Ebbene  la  diseguaglianza  (4)  esprime  allora  che:  il  punto  reale  Z\ 
rispondente  nel  nostro  S3  al  complesso  lineare  rappresentato  dall'equazione 
"      (YP)  =  0  , 
è  precisamente  un  punto  interno  a  Q . 
Diciamo  infatti 
(ap)  =  0 
l'equazione  di  un  qualsiasi  complesso  lineare  reale  passante  per  v  e  v,  per 
modo  che  i  numeri  (reali)  o#  possono  concepirsi  come  coordinate  (sovrab- 
bondanti) di  punto  (reale)  nel  nostro  solito  S3 . 
Poiché 
(wy)4=0, 
l'espressione 
(a  a)  (vv) 
non  può  annullarsi  che  per 
(a  a)  =  0  ; 
e  quindi  non  può  annullarsi  che  per  i  punti  dell'  S3  appartenenti  alla  qua- 
drica Q.  Segue  che  essa  deve  avere  un  segno  costante  per  i  punti  reali 
interni  a  Q,  e  il  segno  contrario  per  quelli  che  sono  reali  ed  esterni  a  Q: 
e  quindi  sarà  provato  il  nostro  assunto  se  riusciamo  a  far  vedere  che  pei 
punti  esterni  essa  è  negativa. 
Nello  spazio  (xx  x2  x3  %4)  dei  punti  Sì  ,  Si' ,  Sì  ,  Sì'  eseguiamo  la  trasfor- 
mazione (reale)  di  coordinate  rappresentata  dalle  formule 
xj  =  aj X ,  4-  A  X 2  +  «;  X3  +  #  X4  (y=1.2,3,4): 
