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se,  inoltre,  C  tende  uniformemente  alta  curva  continua  rettificabile  C 
di  A,  ed  esistono  finiti  i  limiti  lira  Ic  ,  lim  Jc;  allora  è 
c  — >  c      c  — > 
lim_Jc  —      =  /'c  (lim  Io  —  Io)  , 
c  —>  c  c  — >  e" 
c/oye  f'c  è  il  valore  della  f  calcolato  in  un  punto  conveniente  di  C. 
Questo  teorema  vale  anche  se  la  G,  si  annulla  in  qualche  punto  di  A, 
purché  in  nessun  punto  sia  uguale  a  zero  per  tutte  le  possibili  coppie 
(x',yr);  e  continua  ancora  a  sussistere,  se  la  condizione  Gì  0  viene  so- 
stituita con  le  due 
(I)  G,  >  0    ,    G  >tf>0  (»), 
valide  per  le  stesse  coppie  (x  ,  y)  e  (x' ,  y'). 
2.  Si  suppongano  verificate  le  disuguaglianze  (1)  e  si  ammetta  {condi- 
zione a)]  che,  per  ogni  punto  (xi  ,  yy)  di  A  si  possa  condurre,  nello  stesso 
campo  A .  un  arco  di  curva  (anche  piccolissimo)  sul  quale  sia  sempre 
f(a  ,  y)  <.  f(xi  ,?/,).  Allora, 
fra  tutte  le  curve  di  A  (intenderemo  sempre  curve  continue,  rettifi- 
cabili) che  conaiungono  due  dati  punti  P0 ,  Pi ,  e  per  le  quali  è  ìc  =  cost , 
ve  n'è  sempre  almeno  una  che  rende  minimo  Ic  (2). 
3.  Osserviamo,  prima  di  proseguire,  che  qui  e  in  tutto  il  sèguito  le 
curve  che  congiungono  due  punti  dati  P0 ,  Pi ,  possono  essere  sostituite  con 
quelle  che  congiungono  due  punti  arbitrariamente  scelti  su  due  linee  date 
(non  estendentisi  all'infinito)  o  due  insiemi  chiusi  dati,  ed  anche  con  tutte 
le  possibili  curve,  aperte  o  chiuse,  aventi  almeno  un  punto  in  una  determi- 
nata regione,  limitata,  e  soddisfacenti  a  condizioni  comunque  fissate,  purché 
si  possa  dire:  1°)  che  ogni  curva  limite  di  curve  della  totalità  considerata 
soddisfa  anch'essa  alle  stesse  condizioni  ;  2°)  che  in  qualunque  punto  di 
una  qualsiasi  curva  della  totalità  si  possa  arbitrariamente  aggiungere  un 
piccolo  arco,  appartenente  ad  A ,  e  ciò  senza  uscire  dalla  totalità  medesima. 
Chiameremo  r  una  qualunque  di  queste  classi  di  curve. 
4.  Analogamente  a  quanto  si  è  detto  al  n.  2,  supponendo  sempre  veri- 
ficate le  (I)  e  ammettendo  [condizione  /?)]  che,  per  ogni  punto 
di  A,  si  possa  condurre,  nello  stesso  campo,  un  arco  di  curva  sul  quale  sia 
sempre  f{x-,  y)  <.  f(%i  ,  yì),  si  può  affermare  che,  fra  tutte  le  curve  di  r 
che  rendono  Ic  =  cost,  ve  riè  sempre  almeno  una  che  dà  il  massimo  di  Jc. 
5.  Qualora  il  segno  della  f  resti  costante,  è  possibile  di  aggiungere,  ai 
precedenti,  altri  risultati,  relativi  al  caso  in  cui,  invece  dell'  integrale  Ic , 
si  tenga  costante  Jc.  Precisamente,  si  ha: 
(')  Con  d  indicheremo  sempre  una  costante. 
(a)  Avvertiamo  che  parleremo  sempre  di  massimi  e  minimi  assoluti. 
