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1°)  se  è  sempre  /  >  0  ed  è  verificata  la  condizione  fi),  fra  quelle 
curve  di  r  che  danno  ad  Jc  un  valore  costante,  ne  esiste  sempre  almeno 
una  che  rende  minimo  Ic;  analogamente, 
2°)  se  è  sempre  f  <.  0  ed  è  verificata  la  a),  fra  quelle  curve  di  r 
per  le  quali  Jc  mantiene  un  valore  costante,  ne  esiste  almeno  una  che 
rende  minimo  Ic- 
6.  Si  ha  anche:  se  la  condizione  a)  è  verificata  in  tutti  i  punti  su 
cui  è  f  <_  0,  e  la  fi)  in  tutti  quelli  ove  è  f>.0,  fra  tutte  le  curve  di  r 
per  le  quali  è  3c  =  cost  ve  riè  almeno  una  che  rende  minimo  Ic. 
7.  Se  le  condizioni  a)  e  fi)  sono  verificate  insieme,  allora  fra  tutte 
le  curve  di  r  si  ha  tanto  il  minimo  quanto  il  massimo  di  Jc  per 
Ic  =  cost  ;  ed  anche  il  minimo  di  Ic  per  Jc  =  cost . 
8.  Quando  si  sappia  che,  presa  una  qualunque  curva  di  JT,  prossimi  ad 
essa  quanto  si  vuole  esistono  sempre  punti  nei  quali  è  f  ^>  0,  si  ha  che, 
supposta  soddisfatta  la  fi),  ogni  curva  maximum  di  Jc  per  Ic  =  cost  è 
anche  minimum  di  Ic  per  Jc  =  cost .  E  analogamente,  se,  invece  della 
/]•>  0,  è  verificata  la  f  <C  0,  e  invece  della  fi)  la  a),  ogni  curva  minimum 
di  Jc  per  \c  =  cost  è  anche  maximum  di  Ic  per  Jc  =  cost. 
9.  È  evidente  che  la  condizione  a)  [/?)]  è  sempre  verificata  in  tutti 
i  punti  interni  al  campo  A  che  non  sono  minimi  (massimi)  propri i  per  la 
f(xy).  Ed  è  importante  di  osservare  che  i  teoremi  precedenti  restano  veri 
anche  se  questi  minimi  (massimi)  effettivamente  si  presentano,  purché  quelle 
curve  di  r,  che  soddisfano  alla  data  condizione  Ic  =  cost  o  Jr  =  cost  (secondo 
gli  enunciati)  e  che  ne  contengono  qualcuno  (Pi  ,  P2 , ...),  contengano  sempre 
anche  altri  punti  in  cui  la  f  abbia  valori  inferiori  (superiori)  ai  valori  di  co- 
testi minimi  (massimi)  (Pl5P2,...),  e  in  cui,  di  più,  la  condizione  in  questione 
\_a)  o  fi)~\  risulti  soddisfatta.  Se,  all'incontro,  questi  ultimi  punti  mancano 
e  non  si  sa  a  priori  che  le  curve  di  r  che  passano  per  almeno  uno  dei 
minimi  (massimi)  soddisfano  senz'altro  alla  condizione  posta  Ic  =  cost  o 
Jc  —  cost,  allora  i  teoremi  in  parola  possono  cadere  in  difetto,  e  il  minimo 
o  massimo  di  cui  si  tratta  può  effettivamente  mancare.  Ciò,  per  esempio, 
si  verifica  nel  caso  della  catenaria  sulla  sfera,  quando  la  lunghezza  fissa 
delle  curve  che  si  considerano  supera  la  somma  delle  lunghezze  degli  archi 
di  cerchio  massimo  che  i  punti  dati  uniscono  al  più  basso  punto  della  sfera. 
Qui  è  bene  osservare  che  i  risultati,  che  noi  esponiamo  per  le  curve  del 
piano,  si  trasportano  immediatamente  a  quelle  di  altre  superfici,  ed  anche 
alle  curve  dello  spazio  in  generale. 
Circa  il  contorno  del  campo  A ,  si  può  notare  che,  alla  validità  dei 
teoremi  dati,  non  nuoce  il  fatto  che  la  condizione  a)  o  fi)  non  sia  soddisfatta 
in  quei  suoi  punti  i  quali  non  possano  essere  raggiunti  dalle  curve  di  r 
che  verificano  quella,  delle  due  eguaglianze  lc  =  cost  ,  Jc  =  cost,  di  cui  è 
fatto  parola  nell'enunciato  del  teorema  stesso. 
