10.  La  proposizione  del  n.  6  può  assumere  una  forma  più  generale  di 
quella  in  cui  noi  l'abbiamo  esposta.  Si  abbiano  i  due  integrali 
dove  la  G  soddisfa  ancora  alle  disuguaglianze  (I),  la  g  e  la  f  hanno  gli 
stessi  caratteri  della  /  dell'integrale  Jc,  e  le  M! ,  N,  , M2,N2  quelli  delle 
M  e  N  del  medesimo  integrale.  Esistano  due  costanti  kx ,  A2  tali  da  ren- 
dere soddisfatte,  in  tutto  il  campo  A  e  per  tutte  le  solite  coppie  (x' ,  y'), 
le  disuguaglianze 
/  (A,  g  +  A2  f)  Q  +  (Ai  M,  +  A2 M2)  x'  +  (A,  N,  +  A2N2)  y'  >  S  >  0  ; 
inoltre,  per  ogni  punto  (xx ,  yx)  di  A  tale  che  f(xx  ,  yx)  .>  0,  si  possa  con- 
durre un  arco  anche  piccolissimo,  appartenente  ad  A ,  sul  quale  sia  sempre 
Hi\gfai  ,  //,)  f(x,y)  —  g(x  ,  y)  f{xx  ,  yx)\  <.  0;  e  per  ogni  altro  (#2 ,  y,),  pure 
di  A ,  tale  che  sia  f  (x2 ,  y2)  <.  0 ,  si  possa  condurre  un  arco  analogo,  sul 
quale  sia  invece  kx  \  g(x» ,  yt)  ,  y)  —  g(x  .  ?/)  f(xt ,  t/2 1  ^  0.  Allora,  /Va 
ta^e  quelle  curve  di  r  per  le  quali  è  Jc  =  cost ,  ve  n'è  almeno  una  che 
rende  minimo  Ic. 
Osserviamo  che  se,  per  es.,  è  Mx  =  Ni  =  M2  =  N2  =  0,  le  condizioni 
(II)  si  riducono  alla  sola  kxg  -f-  k2f^>  Sx  ^>  0,  e  che  questa,  in  partico- 
lare, è  certamente  soddisfatta  se  è,  in  tutto  A,  / — g~^>à^>0  (potendo 
anche  essere  f=g  in  quei  punti  che  rendono  />0  e  che  appartengono 
ad  un  campo  limitato),  oppure  g — /">^>0;  ed  anche.se,  essendo  la  g 
(o  la  /)  sempre  di  un  segno,  positiva  o  negativa,  in  quei  punti  di  un 
campo  limitato  nei  quali  è  g  =  0  (/=0)  la  f(g)  risulta  diversa  da  zero, 
rispettivamente  positiva  o  negativa,  mentre  poi  nei  punti  di  A  esterni  al 
detto  campo  è  sempre,  pure  rispettivamente,  g^>d^>0  o  #<C^<^0. 
11.  Nel  caso  dei  problemi  in  piccolo,  negli  enunciati  che  precedono 
diventano  superflue  le  seconde  disuguaglianze  delle  (I)  e  (II),  purché  la 
uguaglianza  Gtx  =  0  non  sia  verificata,  in  nessun  punto  di  A,  identicamente 
per  tutte  le  possibili  coppie  {%'  ,y). 
12.  Tutte  le  parti  interne  {nel  senso  stretto)  di  una  delle  curve 
maximum  o  minimum,  di  cui  si  è  parlato  sino  ad  ora,  soddisfano  con- 
temporaneamente alle  equazioni  differenziali  di  Eulero 
r 
j;  —\  \  f(x  ,y)  G(x,y,x',  y')  +  M2(#        +  N2(x  ,y)y'\ds, 
A^  +  A2/>0, 
dìla;' 
-      =  0 
dH,, 
-  H,  =  0  , 
ds 
ds 
Rendiconti.  1914.  Voi.  XXIII,  2°  Sem. 
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