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dove  si  è  posto  (supponendo,  per  esempio,  trattarsi  degli  integrali  Ic  e  Jc) 
H  =  [l  -\-  f(x  ,  y)~]  G  -j-  Moc'  -f-  T$y'  con  l  =  cosi  isoperimetrica  ;  oppure 
alle  altre 
(sempre  nella  stessa  ipotesi):  e  ciò  avviene  con  La  sola  eccezione,  al  più,, 
dei  punti  nei  quali  è  {^-\-f)  Gì  =0,  nel  primo  caso,  e  Gì  =  0  nel  secondo. 
13.  Se  i  due  integrali  da  considerarsi  non  hanno  precisamente  le  forme 
da  noi  fissate,  può  ricorrersi  alla  proposizione  che  segue:  Si  abbiano  gli 
integrali 
con  G  e  F  funzioni  continue,  insieme  con  le  loro  derivate  parziali  dei  primi 
tre  ordini,  per  tutti  i  punti  (x  ,  y)  di  A  e  tutte  le  solite  coppie  (x' ,  y'). 
Si  suppongano  verificate  le  tre  condizioni:  1°)  una  almeno  delle  due  fun- 
zioni G  e  F  sia  sempre  >  S  >  0  per  tutti  i  punti  (x  ,  y  ,  x' ,  y')  detti; 
2°)  sia  sempre  Gì  >  0  ;  3°)  considerata  una  curva  qualunque  C  di  r,  e 
F, 
detto  m  il  minimo  di  —  per  tutti  i  punti  (x ,  y)  di  C  e  tutte  le  possibili 
coppie  (x' ,  y'),  su  C  esista  almeno  un  punto  (xx ,  yy)  tale  che  per  esso  si 
possa  sempre  scegliere  un  numero  mx  <.  m  e  condurre  un  piccolo  arco,  interno 
ad  A,  sul  quale  sia  costantemente  F(# ,  y  ,  x' ,  y')  —  mlG(x;y  ,x  ,  y')  ^  0, 
e  ciò  indipendentemente  dal  senso  in  cui  l'arco  vien  percorso.  Ciò  posto, 
fra  tutte  le  curve  di  r,  per  le  quali  Ié'  mantiene  un  valore  costante,  ve 
riè  almeno  una  che  rende  minimo  J"  • 
Questa  proposizione  continua  a  sussistere  anche  nel  caso  in  cui  si  abbia 
Gì  .>  0,  invece  di  G(>0;  qui  il  numero  m  della  condizione  3a)  sarà  il 
massimo  numero  che  rende  soddisfatta  la  disuguaglianza  Fj  —  mGi  0 
per  tutti  i  punti  di  C  e  tutte  le  possibili  coppie  (x',y'),  supponendo,  na- 
turalmente, che  tal  numero  esista. 
14.  Per  tutte  le  curve  minimum  o  maximum  di  cui  si  è  mostrata 
l'esistenza,  vale  il  teorema  di  Osgood,  nella  stessa  forma  nella  quale  lo 
enunciai,  al  n.  5  della  Nota  I,  per  il  caso  particolare  ivi  considerato. 
15.  Ritornando  agli  integrali  IC,JC,  vi  è  luogo  a  considerare  l'even- 
tualità che,  invece  della  G  >  à  >  0,  si  abbia  G  >l  0.  In  questa  ipotesi,  i 
teoremi  qui  dati  non  rimangono  veri  senz'altro;  però  in  casi  particolari 
importanti  è  possibile  ugualmente  di  giungere  ad  essi.  Così,  per  non  fare  che 
un  semplice  esempio,  nel  campo  A  definito  da  y  >.  0,  si  stabilisce  molto 
facilmente  l'esistenza  del  minimo  o  del  massimo  di  Jc  =  \ym+nds  per 
Io  =  \ym  ds  costante;  e  viceversa. 
