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Possono  anche  prendersi  iu  considerazione  problemi  isoporimetrici 
in  cai  trattisi  di  integrali  in  numero  maggiore  di  due.   Si  abbiano  gli 
Jcn=     \fr(x,y)G(x,y,x'.!/)-\-Mr(xìy)x'  +  lìr(x,y)y'\ds 
Jc 
(r  =  1  ,  2  ,  ...  ,  n)  , 
dove  G  soddisfa  alle  disuguaglianze  (I),  e  le  funzioni  fr  ,  Mr ,  Nr  sono  ana- 
loghe a  quelle  dell'  integrale  Jc .  Si  supponga  che,  preso  un  qualsiasi  punto 
(xi ,  yx)  di  una  curva  arbitraria  di  r,  si  possa  sempre  condurre  per  esso 
un  arco  appartenente  ad  A  e  tale  da  soddisfare  per  intero  alle  uguaglianze 
fr{x  ,  y)  =  fr{xi  ,y\)  {r—  1 ,  2  , ... ,  n).  Allora  i  teoremi  dati  sugli  estremi 
di  Jc  per  Ic  =  cost ,  si  ripetono  tal  quali  relativamente  agli  estremi  di 
per  Ic  e  J(<T)  (r  =  2  ,  3  , ... ,  n)  costanti. 
17.  1  metodi,  coi  quali  si  giunge  alle  proposizioni  delle  quali  ci  siamo 
fino  ad  ora  occupati,  hanno  un  carattere  di  generalità  tale  da  potersi  ado- 
perare con  facilità  in  questioni  assai  più  complesse  di  quello  che  non  siano 
gli  ordinarli  problemi  isoperimetrici.  Ad  illustrazione  di  ciò,  daremo  la  se- 
guente proposizione:  Sia  y(u,v)  una  funzione  finita  e  continua  per  tutti  i 
valori  delle  variabili  che  si  hanno  da  considerare.  Si  supponga  che,  preso 
ad  arbitrio  un  punto  di  una  qualsiasi  curva  di  r,  si  possa  sempre 
condurre  per  esso  un  arco  interno  ad  A ,  tale  da  soddisfare  per  intero  alla 
uguaglianza  f(x  ,  y)  =  f(xx  ,  y{).  Ciò  posto, 
fra  tutte  le  curve  di  r  che  verificano  l'uguaglianza 
ve  n'è  almeno  una  che  rende  minimo  Ic-  Se  poi  l'uguaglianza  scritta  è 
tale  che  da  essa  risulti  necessariamente  Ic  <C  di  un  numero  fisso  (1),  si 
ha  anche  il  massimo  di  Ic,  e  si  hanno  pure  il  minimo  e  il  massimo  di  Jc. 
integrali 
9>(Ic ,  Jc)  =  0  , 
(]J  Ciò,  per  es.,  si  verificherebbe  se  fosse  qp  =  In  (1  +  Pc)  —  !■ 
