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suo Hessiano. Il lavoro è diviso in cinque parti. Nella 1" parte sono raccolti i 

 risultati relativi alla l'orma* binaria di 5" ordine esposti nell'opera di Clebsch « Sulla 

 teoria delle forme binarie algebriche» e nella Memoria di Clebsch e Gordan « Sulla 

 rappresentazione tipica delle forme binarie » inserita negli Annali di matematica che 

 si pubblicano a Milano. L'autore considera un sistema completo di 73 forme inva- 

 riantive della quintica binaria alquanto diverso da quello trovato da Gordan, ed 

 aggiunge alle relazioni esposte da Clebsch intorno ad un tale sistema completo di 

 forme molte altre relazioni che si deducono da quelle. In quanto poi alle rappre- 

 sentazioni tipiche l'autore trova quelle che si ottengono prendendo per variabili due 

 dei quattro covarianti lineari della quintica, per tre diverse loro combinazioni; e 

 supponendo che la quintica sia decomposta in una forma lineare ed in una biqua- 

 dratica (in forma tipica), trova le relazioni tra gì' invarianti della quintica che deb- 

 bono verificarsi, allorché questa biquadratica è equianarmonica, o armonica, o pure 

 allorché l'elemento lineare della quintica appartiene all' Hessiano o al covariante di 

 3° grado e di 6° ordine della biqnadratica. Oltre a ciò l'autore considerando la 

 rappresentazione tipica della quintica, che si ottiene mediante la teoria delle forme 

 associate, dà il significato geometrico dei covarianti che sono i coefficienti dei diversi 

 termini in una tale rappresentazione, ed estende questo significato geometrico al 

 caso di una forma binaria d'ordine qualunque. Nella 2"- parte della Memoria l'au- 

 tore calcola il discriminante dell' Hessiano della quintica, e le risultanti della forma 

 fondamentale combinata con ciascuno dei quattro covarianti lineari, con ciascuno dei 

 tre covarianti quadratici, con uno dei covarianti biquadratici, con l'Hessiano e col 

 covariante di 3' grado e di 9" ordine del sistema completo. Nella 3^ parte della 

 Memoria l'autore tratta in particolare dell' Hessiano della quintica, calcola le diverse 

 spinte dell' Hessiano con sé stesso e con la forma fondamentale, e trova la rela- 

 zione (analoga a quella che s'incontra nella teoria delle forme biquadratiche) che 

 ha luogo tra il quadrato del covariante di 3° grado e di 6" ordine (determinante 

 funzionale della quintica e del suo Hessiano), la quintica, l' Hessiano, il covariante 

 di 2° grado e di 2" ordine, ed il covariante di 3° grado e di 3' ordine del sistema 

 completo. Dopo ciò l'autore discute diversi casi di moltiplicità delle radici dell' Hes- 

 siano, in relazione alle multiplicità delle radici della forma fondamentale. La 4^ parte 

 della Memoria è dedicata alle interpretazioni geometriche ; l'autore dà, non sola- 

 mente quello delle diverse forme del sistema completo della quintica, ma trova ancora 

 con considerazioni geometriche altre forme invariantive della quintica, come ad 

 esempio i covarianti di 15", 10" e 5" ordine che rappresentano rispettivamente i 

 gruppi totali dei centri armonici di 3", 2'^ e 1" ordine di ciascun elemento della 

 quintica rispetto al gruppo degli altri quattro. Finalmente nella S'' parte della Me- 

 moria l'autore discute il modo di comportarsi della forma fondamentale e del suo 

 Hessiano, non che di vari covarianti del sistema completo allorché alcune forme 

 di questo sistema si annullano, notando per ciascun caso le forme canoniche più 

 semplici alle quali può ridursi la quintica. I casi studiati principalmente dall'au- 

 tore sono quelli in cui si annulla il discriminante della quintica, o uno degl' inva- 

 rianti del sistema completo, o pure si annullano contemporaneamente alcune com- 

 binazioni di due di questi invarianti ; come ancora i casi in cui nel sistema completo 



