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]M5itooia,tica. — Jung. Nuovi teoremi a complemento della regola di 



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Guidili e proprietà della spirale r = a~^-. Presentata dal Socio Blaserna, in 



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nome del Socio Brioschi. 



« Il teorema di Pappo, meglio conosciuto sotto il nome di teorema di Guldin, 

 esprime, con mia formola semplice e intuitiva, il nesso che ha luogo fra il volume 

 0 la superficie di un solido di rivoluzione e il baricentro dell'area o della linea 

 meridiana. 



« I nuovi teoremi, che formano l'oggetto della presente Nota, hanno qualche ana- 

 logia con la regola di Guldin e in certo modo la completano, per questo, che mentre 

 con unica formola somministrano il baricentro di qualsivoglia volume o superficie 

 di rivoluzione (a rotazione completa ed incompleta), mettono in evidenza il nesso che 

 ha luogo fra tale baricentro e il centro di secondo grado dell'asse di rotazione re- 

 lativo all'area o alla linea meridiana. Essi inoltre sembrano avvalorare un concetto 

 già da me espresso in altre occasioni, essere cioè vantaggioso e opportuno di .con- 

 siderare, insieme al baricentro (ossia centro di P grado) di un' estensione, anche il 

 relativo sistema antipolare (ossia la totalità dei suoi centri di 2° grado) ('). Si rile- 

 verà infatti che ogni qualvolta di un' area (o di una linea) piana si conosce il subor- 

 dinato sistema antipolare — e per molte è già noto a priori, mentre per le altre 

 si può sempre determinare, con facili e note operazioni sistematiche — i detti teo- 

 remi dànno immediatamente e senza calcoli il baricentro del volume (o della super- 

 ficie) che quell'area (o rispettivamente quella linea) genera, quando ruota di un angolo 

 arbitrario intorno a una retta comunque posta nel suo piano. — Ed è quasi super- 

 fluo avvertire che i teoremi stessi possono giovare anche nella questione inversa, cioè 

 per trovare i sistemi antipolari subordinati ad aree piane e a linee piane. 



I giusti limiti, nei quali questo riassunto del mio lavoro dev'essere contenuto, 

 m'impongono di dare dei teoremi soltanto gli enunciati e di chiarire su due soli esempi 

 e con rapidi cenni quelle due sorta di applicazioni. Ho però anche indicata e riso- 

 luta un' altra questione che si collega con l'argomento, e messo in rilievo una pre- 

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prietà caratteristica della spirale r=^a — ^ — ; proprietà, a mia cognizione, non no- 

 tata finora, e che permette di utilizzare questa curva nella ricerca del baricentro 

 di qualsivoglia solido o superficie di rivoluzione. 



« La regola generale ch'io propongo per determinare il centro di gravità dei solidi 

 e delle superficie di rivoluzione è espressa dai due teoremi seguenti: 



«I. Ilbaricentrodelvolume di rivoluzione generato da un' a rea 

 piana (a contorno arbitrario), che ruota di un angolo qualsiasi 



(') Com'è noto, ogni estemione (lineare, superficiale o solida) oltre a un punto (che n'è il ba- 

 ricentro), individua un sistema polare (che n'è il sUtema aniipolare subordinalo), nel quale sono ele- 

 menti corrispondenti i suoi centri di 2° grado e i piani dello spazio cui questi centri si riferiscono ; 

 e il quale in date circostanze può degenerare sia in un sistema polare piano, sia anche in una sem- 

 plice involuzione rettili:. ca di punti. Cfr. le mie Memorie Sui momenti obliqui ecc. (Collfctanea ma- 

 thematica, Milano, 1881) e Sulle forme degeneri ecc. (Rendic. del r. Ist. Lomb. t. XV, 1882). 



