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« A queste devonsi aggiungere ancora tre altri gruppi : Actiniae incertae sedis, 

 Actiniae dubiae, Actiniae delendae. 



« L'opera del dottore A. Andres è una contribuzione veramente splendida alla 

 conoscenza della fauna marittima italiana ; e la Commissione propone che sia pub- 

 blicata integralmente negli Atti dell'Accademia ». 



Il Socio Battaglini, relatore, a nome anche del Socio Ceemona, legge la se- 

 guente relazione sulla Memoria del prof. A. Frattini, intitolata: Sui gruppi tran- 

 sitivi di sostituzioni dello stesso ordine e grado. 



« È noto, per l'opera di Jordan sulla Teoria delle sostituzioni e delle equazioni 

 algebriche, che il modo di derivazione del gruppo transitivo, d'ordine e grado 

 eguali, in isomorfismo oloedrico con un gruppo fondamentale è fondato sulla consi- 

 derazione di ima funzione lineare formata con gii elementi dello sostituzioni del gruppo 

 fondamentale ; considerando i valori che prende questa funzione lineare per le diverse 

 sostituzioni del gruppo proposto, ogni sostituzione di questo gruppo darà origine ad 

 una sostituzione tra i suddetti valori della funzione lineare; il sistema di queste 

 sostituzioni costituirà il gruppo, d'ordine e grado eguali, transitivo e congiunto per 

 isomorfismo oloedrico col gruppo fondamentale. Ora l'A. della presente Memoria 

 ha dato due costruzioni molto semplici di un tal gruppo transitivo, indipendentemente 

 dalla considerazione della funzione lineare. I due gruppi ai quali egli perviene, e che 

 chiama gruppo potenziale e gruppo antipotenziale del gruppo fondamentale , si 

 ottengono nel seguente modo : disposte le sostituzioni del gruppo fondamentale in un 

 ordine determinato, distinguendo ciascuna con un indice che dinoti il suo posto in 

 tale disposizione, si considerino le diverse potenze di una sostituzione del gruppo 

 e si moltiplichino a sinistra per un' altra sostituzione qualunque del gruppo me- 

 desimo; si formi un ciclo numerico con gl'indici delle sostituzioni del gruppo che 

 corrispondono ai suddetti prodotti; si operi allo stesso modo, sempre sulle diverse 

 potenze della sostituzione primitiva, con un'altra sostituzione del gruppo diversa da 

 quelle già ottenute, formando il corrispondente ciclo numerico degl'indici, e si con- 

 tinui similmente finche tutti gl'indici delle sostituzioni siano esauriti; il prodotto dei 

 cicli numerici ottenuti rappresenterà la sostituzione del gruppo potenziale corrispon- 

 dente alla sostituzione primitiva del gruppo fondamentale : l'operazione descritta, estesa 

 a tutte le sostituzioni del gruppo fondamentale, darà origine ad un sistema di sosti • 

 tuzioni regolari tra gl'indici delle sostituzioni del gruppo fondamentale, di numero 

 eguale a quello degl'indici, e questo sistema di sostituzioni costituirà il gruppo transitivo, 

 d'ordine e grado eguali, collegato per isomorfismo oloedrico col gruppo fondamentale. 

 Il gruppo antipoteuziale si costruisce in modo analogo, considerando le potenze ne- 

 gative di ciascuna sostituzione del gruppo fondamentale, ed eseguendo a dritta le mol- 

 tiplicazioni per le altre sostituzioni dello stesso gruppo. Dopo ciò l'A. applicando 

 la costruzione del gruppo potenziale, o del gruppo antipotenziale, alle sole sostituzioni 

 di un gruppo contenuto nel gruppo fondamentale, forma così un gruppo contenuto 

 nel gruppo potenziale, o nel gruppo antipotenziale, e perviene al teorema: « Per ogni 

 gruppo minore contenuto nel gruppo transitivo d'ordine e grado eguali, in isomor- 

 fismo oloedrico con un gruppo maggiore, gli elementi di questo vengano distribuiti 



