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« L'autore espone i risultati dei suoi studi , riportando le misure degli angoli, 

 e unendovi i disegni relativi. Ci sembra che il lavoro sia condotto con diligenza, e 

 meritevole di essere inserito negli Atti ». 



Le conclusioni delle Commissioni, messe partitamente ai voti dal Presidente, 

 sono approvate dalla Classe, salvo le consuete riserve. 



7. Presentazione dì Memorie e Note per la inserzione negli Atti. 



IVIateinatica. — Spottiswoode. Sur les invariants et les covariants cVune 

 fonction transformée par une subsHtution quadratique. 



§ 1- 



« On dit qu'une fonction algébrique des variables y, .. est transformée quand 

 ony remplace les variables x,y, .. par des nouvelles variables ^ ,V3, ..; et la transforma- 

 tion s'appello linéaire, ou quadratique, ou bien d'un ordre plus élevé, selon le degré des 

 équations par lesquelles les deux S3fstèmes de variables sont liées entro elles. Les trans- 

 formations dont il s'agit ordinairement sont du premier ordre, ou linéaires. Pour 

 lixer les idées, une fonction U des deux variables, x, y, se transforme en une nouvelle 

 fonction W du méme degré en ?, V7, ou par une substituticn de la forme 



ou bien par une substitution de la forme 



x: y = c<x~\~^ij'- a'x-h^'y. 

 « Les belles recherches sur la théorie des transformations linéaires des gèo- 

 mètres Boole, Cayley, Sylvester, Hermite, Paa di Bruno, Battaglini, Brioschi, et D'Ovi- 

 dio, sont bien connues ; et surtout M. Cayley, dans ses Mémoires classiques sur les 

 « Quantics » (Philosophical Transactions de 1856 et seqq.), a fait des développements 

 les plus importants. 



« Dans la méthode de Tchirnhausen on trouve un exemple d'une transfornaation 

 d'un degré supérieur au premier; et elle se conforme àia première des deux formes 

 ci-dessus signalées. En elfet^ si l'on représente par V, V, deux fonctions homogènes 

 de X. y d'un degré n, et on acbève la transformation en éliminant x, y, par moyen 

 des deux équations. 



V=--^0, l:rt = Y:r, c.à.rf. — vj V = 0. 

 Le résultat, W = 0, sera du mème degré en ^, vj, que la fonction U en x, y. 

 Cela pose, on peut calculer les dérivées (Invariants et Covariants) de W, et puis 

 examiner les relations qui subsistent entre les dérivées dont il s'agit et celles des 

 fonctions U, V, V, soit comme fonctions indépendantes, soit cornme fonctions combinées. 



« Nous avons déjà indiqué dans le cas des transformations linéaires qu'il y a 

 deux formes complémentaires ; selon la première on regarde les nouvelles variables ^, vj, 

 comme fonctions données des x, y, et selon la seconde on regarde les x,y, comme 

 fonctions données des ^,vj. De la mème manière, dans le cas des transformations 

 d'un degré plus élevé il y a deux formes, dont la première se conforme à celle de 

 Tcbirnhausen, et la seconde s'expriine par la formule, 



x:y = Y:Y'; 



V, V, répresentent deux fonctions de |,yj, d'un degré donne. 



