(3) 



— 219 — 



« Daos cette commimication, je me propose, en me servant de la seconde forme, 

 de calculer les invariants et les covariants de W, et de les exprimer en termos des 

 invariants et des covariants de U, V, V. Mais, pour le moment, je ne dépasserai pas 

 le cas le plus restreint, c'est a dire, la trasformation d'une quadratique par ime 

 substitution qnadratiqne. 



§ 2. , 



,« Posons dono comme quadratique donnea, 



U = (a,&,c,) {x,t/)\ (1) 



et soit 



cc:y={a,^,y) (i,-nf:[a'^\i) {i,-cf=N:r (2) 

 la formule de transformation, ou « la transformante ». 

 « Pour ne pas interrompre les calcnls, posons d'abord 



D=ac — 6\ 



2A' = ay + «'7 — 2/3/3', 

 A"=a'y_/3'2, 

 □ = 4(AA" — A'^-) 

 K=aA + 2òA' + cA" 

 colà pose, 



D = Discriminant de U , 

 A = » » V , 



A"= » » V, 

 2 A' = Intermediaire de A , A", 

 □ = Kesultant de V,V', 

 K. — Intermediaire de D , □ . 

 Deplus, D répresente la discriminante d'une fonction U' signalée ci-dessoiis. 

 « Or, en posant 



A=t/3y — /3'7, B = 7a' — ya, C=«/3'— a'/3, (3) 

 on en tire les relations 



«A + /3B+7c = 0, )- 

 a'A4-iS'BH-yc:^0, [ (4) 



4AC — B2 = 4(AA"— A'"^)=r.n; ) . 



et encore, en posant, 



— 2(&A"+aA') = P,aA — cA" = Q,2(cA' + &A) = R, (5) 



on tire 



cP — 2è Q+a R = 0, \ 

 AP + 2A'Q + A''R^0, [ (6) 



PR_Q2 = Dn — K^. ) 

 Celà pose, le discriminant par rapport à ^, vj, de la transformante 



T = («2/-«'tr, /3y_^'a;,77/-7ir) (7) 



sera 



U'= Ai/^ — 2A't/£cH-A"a?^- (8) 



