(16) 



— 221 — 



p,/)'; r,r'; s,s', les deux systèmes p,q,r,s; p\q\r',s', formeront un système homo 

 graphique s'ils satisfont à la condition suivante 



1, r , / , rr' 

 l,s ,s' , ss' 



Cette condition, par une trasformation bien siraple, peut s'écrire ainsi; 



p—p',l,p-hp\pp' =0. 

 q — q',l,q+q', qq' 

 r — r', 1, r+r', rr' 

 s — s' ,1, s-hs' , ss' 



Or, en multipliant les quatre lignes de ce déterminant, tour à tour, par oc, «',«?/ — «' ce, C. 

 et en y substituant les valeurs deduites des expressions de V, V',V",Q, la condition 

 dont il s'agit prendra la forme 



/3, 



= 0, 



\^-^",c', 



V — TI , ot.y — dx,^ij—^x,-^y — -^x 

 V^^,C, -B, A 

 Puis, en écrivant, au lieu de la ligne 3, 



— y (ligne 1) -\-x (ligne 2) 4- (ligne 3), 



le déterminant se reduit au produit des deux facteurs 



{—yV— A-f- xV— A"+V^— U') 



C, — B,A 



= 0, 



(17) 



ou bien 



yV"-^-^ ocV^^'-hV^') □ = 0. 



Si le premier de ces deux facteurs =0, on aura 



V^' yV ::rA — xV^^; 

 et en élevant les deux expressions au carré, on tirerà 



?/2 A — 2 (T y § A A" + A" =^ 2/^ A — 2 a; y A' + A" 



ou bien 



AA" — A'2=i-n=0. 

 4 



« Il en suit que la condition pour que les racines des quatre quadriques peuvent 

 constituer un système homographique est toujours 



c.à, d. les deux quadriques V,V', doivent avoir une facteur commune. 



§ 3. 



« Maintenant, je passe au problème principal. Si l'on substitue pour x,y, dans 

 la fonction 



U=(à,6c,)(a;,2/^) (18) 



