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La quatrièinc est le cubicovariant, 



(aM — 3abc + 2b', 

 a^eH-2abd — 9ac- + 6b-c, 

 abe — 3acd + 2b2d 



— ad^-hbde + b^e — bcd 



— adeH-2bceH-2bd2 



— ae^ — 2bde — Qc^^e — bcd"- 

 — be'-+3cde— 2d=»)(?,>j)«. 



Après des calciils pareìls à ceux que j'ai indiqué dans le cas du quadrinvariant, 

 mais un peu plus compliqués, on trouve pour W 



4 



le Quadrinvariant , I = — K^ — DD, (21) 



le Quarticovarìant, H = DQH--|-KW, (22) 



le Cabinvariant, J = -j^ K (8K"^ — 3Dn) (23) 



Li i 



le Cubicovariant, $ = — Da(P,Q,R) (V,V')^ (24) 



le Discriminant, P— 27J2=i-Dn(— 32K'^ + 33K^Dn — 9D"-n^) (25) 



y 



Et pour (P , Q , R) (V,V')^, consìdéré comme fonction de ^, du quatrième degré, 

 on trouvera 



lo Quadrinvariant = -|- (P A + 2 QA' + RA") — □(PR — Q^) 



= — □(DD-K^) (26) 



le Quarticovariant =Q(Dn — K'^) (27) 

 le Cubinvariaut =0 



le Cubicovariant ^(Dn — K^) | K 12 + 2 0 (P,Q ,R) (V,V')2| (28) 



De ces formules ou déduit les conditions suivantes, relatives à la transformée W, 

 « Il est bien connu que si une fonction biquadratique a deux de ses racines 

 égale entro elles , il faut que P — 27 = 0 ; et par conséquent , dans le cas 

 de W, il faut que 0=0, ou que (32,- 33, 9) (K^, Dn)' = 0. Mais, on ne doit 

 pas admettre la condition 0=0, par ce quo dans ce cas les fonctions V, V, doiveut 

 avoir un facteur eoinmun, et alors la transformation cesse d'ètre quadratique. 



« Si la fonction a deux paires de ces racines égales entre elles , il faut que 

 $ = 0; et par conséquent, dans le cas de W, il faut que Q — 0, ou que (P, Q, R) 

 (V,V')^ = 0. 



« Si la fonction a trois de ses racines égales entre elles, il faut que 1 = 0, 

 et J = 0; et par conséquent dans le cas de W, il faut que K = 0, et D^O ». 



Fisicsi. — ViLLARi. Sulla natura delle dilatazioni dei gas, prodotte dalla 

 scintilla elettrica. Presentata a nome dell'autore dal Socio Blaserna. 



