~ 231 - 



Matematica. — Mai sano. Alcuni teoremi relativi alle forme binarie 

 di grado qualunque, e loro applicazione allo studio delle radici multiple deW equa- 

 zione di 6° grado. Presentata dal Socio Battaglini. 



« Generalizzando taluni risultati relativi alle forme binarie dei primi sei gradi, 

 ci è riuscito di scrivere l'espressione canonica di alcune forme binarie per le quali 

 annullansi identicamente dei covarianti. 



Nella Nota: Sopra due classi di forme binarie (v. Atti della r. Accademia dei 

 Lincei, CI. se. fis. Voi. XIV) abbiamo già studiato quelle forme, che per trasforma- 

 zione lineare riduconsi alla forma binomia. In un' altra Nota , che a questa farà 

 seguito, esporremo gli altri risultati, facendone subito un'applicazione ai diversi casi 

 di multiplicità delle radici dell'equazione di 6° grado. 



« Il caso di una sola radice doppia trovasi trattato negli Annali di matematica, 

 serie 2", tomo 1. dal sig. Brioschi, il quale ha espresso il discriminante della sestica 

 mediante gl'invarianti fondamentali di essa. Intanto per l'omogeneità del metodo sim- 

 bolico da noi tenuto negli altri casi e per mettere in rilievo alcune relazioni fra 

 le forme invariantive della sestica, abbiamo calcolato il discriminante di questa, ser- 

 vendoci delle formule date dal sig. Gardean (v. Math. Annalen Bd. S. 355) relative 

 alla risultante di due forme di 5" grado, 



« Kiserbandoci a presentare un' esposizione sistematica delle nostre ricerche, ci 

 limitiamo per ora ad enunciare i risultati ottenuti. 



§ 1. Teoremi relativi alle forme binarie di grado qualunque. 



« Sia 



f=a," = b/ 



una forma binaria di grado n, e pongasi 



H = {aby- b,-\ T = (aH) a,'-' H,^"-^ 

 i = [abY j = {abf {ac)^ {bcf a^^'-' b,-'^ c./-\ 



oltre al noto teorema: 



I. « Le condizioni necessarie e sufficienti perchè la forma f riducasi alla w'""' 

 « potenza di una forma lineare sono compendiate nell'equazione identica : 



H = (aò)2a/-H.^"-2 = o, 



si hanno i seguenti : 



IL « Le condizioni necessarie e sufficienti perchè la forma f riducasi alla 



« potenza (n. pari) di una forma quadratica sono date dall'equazione identica: 



T=(aH)a/-iH,2''-5 = o. 

 « Se n è dispari le condizioni H=o e T = o sono l'una conseguenza dell'altra. 

 III. « Le condizioni necessarie e sufficienti perchè la forma f riducasi al pro- 

 « dotto della {n — 1)""^ potenza di una forma lineare per un'altra forma lineare sono 

 « date dall'equazioni identiche : 



i = [abf 0 , y = (abY {acf (èc)^ a^"-*&,,"-^ e/"* = o. 



« Il sig. Brioschi ha dimostrato (v. Annali di matematica pura e applicata 

 serie IP tomo VIIP) che la sola equazione identica 



{abY'a/-n^'^-^ = o 



I 



