per n = A, 6, 12 conduce rispettivamente alle equazioni del tetraedro, dell'ottaedro 

 e dell'icosaedro, mentre negli altri casi l'equazione identica 

 j = {abf [ac)^ {bcf a^"--'' ò,,""'^ c/'-^ = o 

 è conseguenza dell'altra: 



i 1=:= £t/-^ = 0. 



IV. « Le condizioni necessarie e sufficienti perchè la forma f riducasi al pro- 

 « dotte della (n — 2)™" potenza di una forma lineare pel quadrato di un'altra forma 

 « lineare sono espresse dall'identica equazione: 



11 l 



§ 2. Casi di multiplicità delle radici dell'equazione di 6" grado. 

 « I casi di multiplicità delle radici dell'equazione di 6" grado 



.. = 0 



sono i seguenti: 



I. « L'equazione f— o ammette una radice doppia se annullasi il suo discri- 

 « minante, invariante del 10" grado nei coefficienti di f che indicheremo con A. 



II. « L'equazione f^o ammette una radice tripla se le tre equazioni quadratiche 



l = [aiyaJ- = o, m = {il)'^ij' = 0, n = {;im)'^iJ' = o 

 « hanno una radice comune. 



III. « L'equazione f=o ammette una radice quadrupla se il covariante bi- 

 « quadratico i — {abYaJ^bJ' riducesi alla 4"" potenza di una forma lineare. 



IV. « L'equazione f=o ammette una radice quintupla se annullansi identi- 

 •■< camente i due covarianti 



i={abYa,HJ e j=={abf{ac)^bcfa,H^W 

 « ovvero, ciò che vale lo stesso, se annullasi identicamente il covariante i insieme 

 « all'invariante A = {aby. 



V. « L'equazione f=o ammette una radice sestupla se annullasi identica- 

 « mente il covariante essiano B.= {ab)'^ ax^b^'^. 



Vi. « L'equazione /■=o ammette due radici doppie se annullasi il discrimi 

 «. minante A insieme ad un invariante del 12" grado formato coi tre primi invarianti 

 « della sestica: 



k = {ab)\ B={ii')\ G = {iiT{ii'T{i'i'T 

 « L'equazione f=o ammette tre radici doppie se gl'invarianti B, C e il 



« A° invariante D = {mm')'^ diventano, a prescindere di coefficienti numerici, potenze 



«- del 1° invariante A. 



Vili. « Le tre condizioni perchè l'equazione f=o ammetta una radice tripla 



« e una doppia si esprimono in modo conforme al caso precedente. 



IX. « L'equazione f— o ammette una radice doppia e una quadrupla se veri- 

 « ficasi la equazione identica : 



X. « L' equazione f= o ammette due radici triple se verificasi 1' equazione 

 v< identica : 



T = (aH)a/H^.'' = o ». 



