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si ha: 



(8) / = /(0-Ar/'(0 + f^#'(') 

 ed 



(9) Af =Af'{t) — k*rf"(l). 



Applichiamo questi sviluppi al caso in cui sia /— P ; converrà però 

 introdurre, per maggior chiarezza, una notazione. Indicando, in generale, 

 con u(<p, \p , % '■> y iZ) nna funzione generica, che dipende da t pel tramite 

 degli argomenti y> , tp , % ; x , y , z porremo : 



[a) u = derivata di u rispetto a t , ritenendo x , y , z costanti. 



(b) w = " i » » <p , ip , % * 



E chiaro che la derivata totale di u rispetto a £ (cioè risguardando 

 contemporaneamente q> , ^ , x '■> % ,y -, z come variabili) sarà data da : 



{e) l^' + erO, 



e per la derivata seconda si avrà: 



(d) = «" + 2«'- + w . 



Ciò posto, si ha dalle (8), (9) per /==P: 



P = r 2 — A r (r 2 )' + ^ A 2 P (r 2 )", 

 A (r 2 / = A (r 2 )' — A 2 r (r 2 )", 



ove 



(20 r 2 = (a? - f/ ) 2 + </>) 2 + (* - *) 2 , 



ed (r 2 )' , (r 2 )" hanno il significato (a). Si può ancora scrivere : 



(10) P = r 2 — 2 A r . r r + A 2 P (r' 2 + r r"), 



\ A(r 2 )' = Arr' = Ar r' — A 2 r (r' 2 -f- r r"% 



a 



quindi la (5) diventa: 



m p = = . 



r-J-Arr' — A 2 r(r' 2 -{- rr") 



Osserviamo ora che dalla (10) si ha: 



P [1 — A 2 (r' 2 + rr")] + 2Arr'. r — r 2 = 0 ; 

 (!) Per comodità tipografica scriviamo w, anziché, come trovasi in trattati inglesi, ù 



