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costituisce in ogni caso la L (r) considerata colla forinola (19) della Nota 

 precedente, e che ha significato per una forma fondamentale di ordine r, 

 non dipendendo da coefficienti X a piìc che r indici. 

 Abbiamo dunque la importante forinola generale: 



che per r = 2 diventa la (8) dell'altra mia Nota: Trasformazioni infini- 

 tesime e forme ai differenziali di second 'ordine, pubblicata l'anno scorso 

 in questi medesimi Eendiconti ( 1 ). 



2. Ulteriore riduzione della formola (10) — Il secondo membro della 

 foratola (10) è una forma differenziale di ordine r del medesimo tipo della 

 forma fondamentale X (r) , cioè tale che ogni suo termine ha per fattore 

 un ó w . Ciò, se è evidente per la prima e ultima parte, cioè per d r A e L (r) , 

 è tutt' altro che evidente per la parte intermedia, cioè per 



di cui ogni termine apparisce moltiplicato per il prodotto di due ó, cioè per 

 un <J tr ~ u,) J ( . a) , di cui la somma degli indici superiori è sempre r. 



Si tratterà dunque di trasformare (11) servendoci delle identità fra le 

 à che abbiamo già stabilito nella Nota I, e di altre formole che abbiamo 

 ricercato nella Nota III. 



Kesterà così dimostrato un teorema che, come è facile comprendere, ha 

 in queste ricerche, una importanza fondamentale, e cioè: 



II risultato dell'applicazione di una trasformazione infinitesima ad 

 una forma differenziale X (r> , dà luogo ad una forma differenziale del 

 medesimo ordine e tipo della X (r) medesima. 



Una quistione di questo genere non si presentava per le forme di se- 

 cond' ordine, perchè per esse il tipo della X (2) non è un tipo particolare, ma 

 sibbene qualunque forma di second'ordine è una X c2) . È per r^>2 che la 

 forma che si genera differenziando r volte una funzione, è di tipo speciale, 

 ma però a carattere invariantivo, come abbiamo in altro luogo dimostrato ( 2 ). 



Esaminando la formola (17) della Nota III, si osserva che le 

 (a = 1 , 2 , ... r — 1) formano una successione perfettamente analoga a 



(11) 



( J ) (5), t. XI, 1902, 2° sem., pp. 167-173. 



( 2 ) Su di un invariante simultaneo, ecc. Eend. Ist. Lomb. (2), t. 35, 1902. 



