- 48 — 



cioè — 2 se r è pari, e 0 se r è dispari ; quindi se r è dispari quel Cj,- Jr 

 non comparisce in (18) e quindi in (14); e se r è pari vi comparisce col 

 coefficiente numerico -j- 2 in (18), e quindi col coefficiente zero in (15). 



3. Relazioni cui soddisfa il nuovo simbolo (17). — // simbolo (17) 

 soddisfa alla relazione: 



(20) m mJÌ - UJi *-*hffl + «/. + m i. h - mm o • 



Infatti ci è già nota la relazione (v. la formola (2) della Nota II) 

 ^7 (O'i -h .-jp)) — ((jji -h >Mi -j P )) — 



— ((ji -ji,js +l ...y p y))==o. 



Mediante questa formola si vede che ognuno dei 2P — 2 termini di cui 

 risulta — — [[ji ...jpJÌ s i distrugge con due di quelli di \_\_j\ •'• jpj~\~] \ 

 quali sono in numero di 2P" 1 " 1 — 2 , e restano solo 



(2P +1 — 2) — 2(2P — 2) = 2 



termini, i quali sono quei soli due simboli a parentesi doppia rotonda con- 

 tenuti in [[/ì —/p/]] nei quali l'indice j forma gruppo a sè, e propria- 

 mente forma o il primo gruppo o il secondo gruppo degli indici. Tali due 

 termini si distruggono coi due ultimi della formola (20), [la quale resta 

 così dimostrata. 



Unaltra proprietà importante, estensione di quella data dalla formola 

 (20), e di cui anche dovremo servirci in seguito è la seguente: 

 Poniamo per brevità: 



^-jpWh'.-jm < T>-=o 



dove le Z sieno i coefficienti di una forma qualunque Z cn , e coi coefficienti V 

 formiamo i simboli secondarli e principali. 

 Dico che si ha in generale: 



(20') ((/! ... j m , i\ ... Z,))v = — ((/i jm , il - lv))Ì — (il ". ù ,ji :.jm% 



Questa formola si riduce alla (20) per v = 1 ; basterà far vedere che veri- 

 ficandosi per v si verifica per v-\-l. Ora si ha (vedi Nota II): 



(Ol ••• Jm ) Ìi ••. h 0)v — ~ ((jl ••• Jm j Ì\ •■• Zv))v ((jl ••• Jm Ì ) h ••• Ìt))v 



onde, sostituendo a ciascuno dei termini del secondo membro il suo valore 

 dato dalla (20 r ) che si suppone sussistente quando gli indici del secondo 



