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pari e r dispari : 



Variando le £ in tutti i possibili modi, soddisfacenti però sempre alle 

 (32) (33) si ha un sistema di equazioni a derivate parziali cui devono sod- 

 disfare A e le C . D'altra parte se le (34) sono sempre soddisfatte per tutti 

 i sistemi £" che soddisfanno alle (32) (33), i coefficienti di (34) saranno le 

 medesime combinazioni lineari di quelli di egual posto in (32) (33), e quindi 

 ampliando la matrice (31) con un' ultima colonna formata coi termini indi- 

 pendenti da £ e fi nel sistema delle equazioni (26) (24) (29) (termini che 

 sono precisamente i coefficienti di (34)), gli elementi di tale ultima colonna 

 sono le medesime combinazioni lineari di quelli delle altre colonne, donde 

 risulta che la matrice (31) così ampliata ha la stessa caratteristica della 

 (31), il che, come è noto, basta per concludere che le equazioni (26) (24) 

 (29) ammettono almeno una soluzione comune. Dunque : 



Condizione necessaria e sufficiente perchè una trasformazione infini- 

 tesima E lasci invariata la equazione X (r) = 0 « che l'invariante A e 

 i coefficienti dei covarianti simultanei C di X (r) e E soddisfacciano al 

 sistema (34) di equazioni a derivate parziali. 



Se invece della equazione X (r> = 0 si vuol considerare la forma X (r> , 

 bisogna porre ,u = 0, quindi la matrice (31) risulta priva della prima co- 

 lonna, la equazione (32) scomparisce, e le (34) devono verificarsi per tutti 

 i sistemi £ soddisfacenti alle sole equazioni (33). 



Nella prossima Nota studieremo i casi notevoli in cui per la a deb- 

 bono essere zero l' invariante A o i eovarianti C . 



per r pan 



per r dispari 



