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Matematica. — Ricerche gruppali sulle equazioni della di- 

 namica. Nota II 0) di Guido Fubini, presentata dal Socio Luigi 

 Bianchi. 



3. Biprendo in questa seconda Nota le notazioni usate nella prima e 

 voglio applicare i metodi esposti alla ricerca dei problemi a tre coordinate 

 libere che ammettono un gruppo G: caso specialmente interessante, perchè 

 comprende il modo del punto libero, del solido con un punto fisso. Per non 

 allungare le presenti pagine, escluderò il caso di Stàckel che G sia a uno o 

 a due parametri, e il caso banale di immediata trattazione diretta del punto 

 pesante e mi restringerò al punto che per le (7) e per i risultati dei miei 

 lavori citati è il punto fondamentale : la ricerca dei gruppi G possibili : cono- 

 sciuto G, è immediata la ricerca dei corrispondenti problemi. 



I. Cominciamo ora dal caso che T si riduca all' identità ; poiché noi 

 non trattiamo i casi semplicissimi che G sia a nno o a due parametri e 

 poiché G in tal caso non può avere più di tre parametri, avrà G proprio 

 tre parametri, e sarà generato dalle 



(9) Xi^^-'-^ + Y,- (f=l,2,3); 



òX\ 



dove 



Yi = ^ (x, fm^- + h a) (x, ,x 3 )^-. 



ùX% 0X3 



Le Yj generano evidentemente un gruppo, che dico a tre parametri. Se 

 infatti Y,- = 0 (a* = cost) sarebbe Z = V«j xj- 1 — ^- in G ; con una 

 trasformazione proiettiva in x x si potrà fare bj=0 e perciò anche (Xi Z), 

 (X 2 Z) , (X 3 Z) ossia a 2 — — , «, , (2a x x 1 + a 2 x*) — — sarebbero come 



la Z = (ai -f- a 2 X\) ~~ in G ; e poiché G non può avere due trasforma- 

 ssi 



zioni con le stesse traiettorie sarebbe a, = a 2 = 0. Le Y t generano perciò 

 proprio un gruppo a tre parametri su una o due variabili della compo- 

 sizione (Y x Y 2 ) = Yi ; (Y, Y 3 ) = 2 Y 2 ; (Y 2 Y 3 ) = Y 3 . Nel primo caso questo 



gruppo sarebbe perciò simile al gruppo - — , sc 2 — — , x% — ^- ; e dalle (9) si 



~ÒX% ^òX-z ~òX<i 



avrebbero le Xj ; le (7), come tosto si riconosce, diventano però incompa- 

 tibili. Il gruppo delle Y* è perciò transitivo nelle variabili x% , x 3 ; quindi 



(') V. Questi Rendiconti, fase. 12°, 2° sem. 1903, pag. 502. 



