— 61 — 



uno dei sottogruppi (Yj Y 2 ) (Y 2 Y 3 ) è transitivo ; con una trasformazione di 

 Darboux (proiettiva per Xi) potremo supporre (Y! T 2 ) transitivo. E poiché 



(T, Y 2 ) = Ti potremo supporre Y, = — ; Y 2 = x 2 — - -f- — • E per le 



0X2 ~ÒX 3 



formole di composizione si trova : 



Y 3 =s (x 2 2 + h e 2x A — + (x 2 + k e x *) — (h = cost ; k = cost) . 



Le (9) ci danno quindi le Xj e le formole (7) diventano: 



X 1 (ds 2 ) = s,ds 2 ; X 2 (ds 2 ) = e 2 ds 2 ; X 3 (ds 2 ) = — {x, + e 3 ) ds* 



(Si = cost). 



Le formale di composizione danno quindi (cfr. la mia Nota citata pa- 

 ragrafo 5) 



*i = 0 ; 2f 2 = — 1 ; s 3 = 0 . 



E le equazioni precedenti diventano un sistema completo, che permette di 

 determinare senz'altro «tós 2 ». 



Sia invece r a un parametro e ne sia X x = — la trasformazione ge- 



~Ì)X 2 



neratrice; sarà 



ds 2 = e*** (c n dxi 2 -f- Cìz dx 2 2 -f- 2e 23 dx 2 dx 3 -J- c 33 dx 3 2 ) 



(^ = cost;^- s = oì 



il suo elemento lineare. Per trovare i casi in cui Gr abbia almeno tre para- 

 metri, dovremo vedere anzitutto quando oltre a X! esistono in Gr due trasfor- 

 mazioni infinitesime 



X £ = xr 2 ~ + W (x 2 ,x s )^-+ £ 3 (i) (x 2 , x 3 ) ^- (« = 2,3). 



ùXi uX 2 vX 3 



Intanto la X 2 generando un gruppo con Xj potremo chiaramente, mu- 

 tando il parametro x 3 supporre 



X 2 = -{- (ax 2 -f- bx 3 ) r^-+ c ^— 

 oX\ Ì)X 2 ox 3 



dove a , b , c sono costanti ; anzi per i teoremi sulla somiglianza dei gruppi 

 potremo supporre che se c = 0 sia anche <z£ = 0esec=j=0 sia b = 0; 

 in una parola potremo supporre cb = ab — 0 . 



