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Cerchiamo di costruire una trasformazione 



x 3 = Vi r^r + ^ (** ' #3) ^ + ^3 (« 8 , a? 3 ) igj 



che con le precedenti generi in gruppo. Troveremo facilmente ricordando le 

 formule che legano le trasformazioni infinitesime di un gruppo e i teoremi 

 sulla similitudine di due gruppi, che tutti i casi possibili si riducono ai 

 seguenti : 



(II) X! = — ; X 2 = ; X 3 = ai '~- -f- (a x 2 + b x 3 ) ~ + c -~ 



0X2 ÒX\ ÒX\ 0X2 ùX 3 



(ba = bc = 0) 



ÙUy% OX\ CtL 3 Ctfj\ 



+ (ax 2 -{-bx 3 ) ^-\-x 3 ~ 

 (IV) Xl= ^ ;Xs== ^ + ^ 3 ^ ;X3 = ^^ + ^^ + ^^ + 



0X2 ÙX\ 0X2 0<L\ ÓX2 



+ Cfa-l)tf 3 -f-è] 



~ÒX 3 



dove a ,b ,c sono costanti, vj è funzione di x 3 . 



Per cercare ora se possono esistere gruppi G a 4 parametri, basta cer- 

 care quando uno dei gruppi precedenti può essere contenuto in un gruppo 

 più ampio in cui esista un'altra trasformazione generatrice del tipo: 



X 4 = X^ ~— + (#2 , ^3).I— + £ 3 {X t , X 3 ) — 

 Citi Otl'ì dt*3 



in modo però che il gruppo non abbia due trasformazioni con le stesse traiet- 

 torie. Si trova possibile il solo caso: 



x i = r^- 5 x 2 = f^- + ~" ; X 3 = x x —- + bx 3 + x 3 ; 



0X2 dX\ uX 3 oX\ 0X2 cX 3 



X 4 = t r 1 2 -|- ^^3 2 + ^ 3 2 - 



~òXi ^0X2 ~òx 



I primi tre casi (II), (III), (IV) corrispondendo, almeno per valori ge- 

 nerici delle costanti, a gruppi semplicemente transitivi ci danno effettiva- 

 mente in generale problemi dinamici della natura voluta; per l'ultimo caso 

 invece le (7) sono incompatibili, come facilmente si riconosce. 



