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Sia ora r un gruppo a due parametri e quindi, per un teorema prece- 

 dente, operi transitivamente sopra ciascuna varietà X\ = cost. 



Caso 1°. rè a trasformazioni permutabili ; allora le sue trasformazioni 

 infinitesime si potranno immaginare essere le : 



~ÒXì ~òXz 



Una trasformazione 



~ + ? 8 (x 2 , x 3 ) + £» (x 2 , scs) ~ (f=0 oppure i = 1) 



ì>X\ òX 2 oXz 



che con le precedenti generi un gruppo è certamente del tipo 



~à ~ù ~ò 



X 3 = Xi> f- (ax 2 + bxz + e) - — -\-(cx 2 + dx 3 -f /) 



~<)X i ~~ÒX 2 1)Xz 



(a , b , c , ... — cost). 



Scrivendo X 3 -{- eXi -f- /X 2 al posto di X 3 e trasformando linearmente 

 x% , Xz si riconosce che si può porre : 



(V) X 1 = -^-;X 2 — -^-;X 3 = ^ 1 i -^- + a^ 2 -^--f (cx 2 -{-dx 3 )~ - 



oX 2 oX 3 òX\ iX 2 0X3 



(i = Q oppure i = 1) 



dove se a =j= d si può fare c = 0 ossia si può supporre 



c(a — d) = 0. 



Il gruppo (V) essendo semplicemente transitivo, si potranno pure inte- 

 grare le corrispondenti equazioni di Killing generalizzate. Se noi vogliamo 

 trovare i gruppi Gr a più di tre parametri, dovremo anzitutto studiare i 

 gruppi del tipo : 



Xi = — — ; X 2 = — ; X 3 — — -f- ax 2 - — + (cx% + dx z ) tr - 

 Dx 2 ' ~bXz lai ' 1)X Z 



X 4 = x l ^- + (lx 2 + mx 3 ) ^ + (px 2 -\-qxs) 



dove a , c , d , l , m ,p , q sono costanti e c[a — d) = 0 . Scrivendo le condi- 

 zioni affinchè le X, , X 2 , X 3 , X 4 formino effettivamente un gruppo, e ricor- 

 dando i teoremi di Lie sulla somiglianza di due gruppi, troviamo i seguenti 



