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soli tipi possibili: 



■4-1 _ , -A-2 - , A 3 



~ÒX% ~ÒXz liXi 



~ò ~ò 7* 



X 4 = # 1 — + (/^ + *wa? 8 ) — + (^2 + ^3) — 



3 



oppure 



Xi = ; X 2 = ; X 3 = -j- % 



s-y»- J*. ^-v. 1 



7)#2 7 * ~?# 3 ' " 7)#1 ' " Z "^3 ' 



X 4 = ^i ~ + (q — 1) x 2 -f- (;j^ 2 + 0# 3 ) 



7)^1 2)<^2 t)t^3 



Ricordiamo che per ridurre il gruppo a questa forma abbiamo tutt'al 

 più fatto uso di una sostituzione lineare reale immaginaria tra le X 2 5 Xz 5 

 se noi tanto nell' un caso quanto nell'altro integriamo le equazioni di Killing 

 otteniamo per lo « ds 2 » 0 una forma degenere (a discriminante nullo) 0 

 una forma che non si può mutare in una forma positiva con una trasforma- 

 zione (anche immaginaria) lineare sulle x% - Xz- Questi due casi sono perciò 

 impossibili. 



Caso II. r si riduca a un gruppo a due parametri di trasformazioni 

 non permutabili. Potremo per noti teoremi immaginare T generato dalle: 



X 2 = — K ; X! = e~ x * ; sarà perciò (Xj X 2 ) = X x e perciò (cfr. Nota 



~ÒX 2 ~ÒXz 



citata paragrafo 5) sarà X x un puro movimento per ds 2 ; come si verifica 

 subito se un gruppo a tre parametri oltre alle precedenti contiene una tras- 

 formazione 



z^- + £2 (x 2 , Xz) -~ -f ? 3 (#« , xz) 0' = 0 oppure i = 1) 



0X1 ùX<t oXz 



lo potremo immaginare generato dalle: 



< VI) x '=è ;X '^ e -"à ;X '= j; ' i ^ + 



-j- (axz -f- b) -—■ (a = cost ; b = cost) . 



~òXz 



Un tale gruppo essendo semplicemente transitivo, sono compatibili le 

 equazioni di Killing. Per vedere gli ulteriori casi eventualmente possibili 

 bisogna trovare quei G 4 che contengono oltre a una trasformazione 



X 3 =-^+(^3 + £) 



~ÌXi ~ÒX 



3 



