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anche un'altra trasformazione 



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dove c,d sono nuove costanti; il gruppo G 4 dovendo contenere anche la 

 (X 3 X 4 ) sarà a = 0 . Il sottogruppo X! X 3 X 4 è intransitivo ; quindi (Nota 

 citata paragrafo 1) è simile al gruppo di movimenti di una superficie a cur- 

 vatura costante e siccome esso è integrabile avrà proprio un G 2 per gruppo 

 derivato ; perciò c =}= 0 e mutando x 3 in x 3 -f- cost si può fare d — 0 . Le 

 equazioni di Killing si riconoscono facilmente incompatibili. 



Sia ora r un gruppo a tre parametri : esso sarà il gruppo di movimenti 

 di una superficie. 



Caso I. r non sia integrabile; allora (Nota citata paragrafo 5) le sue 

 trasformazioni generatrici X l5 X 2 ,X 3 saranno puri movimenti per le ^ 1 = cost 

 che perciò saranno a curvatura costante non nulla. Noi supporremo che 

 questa curvatura sia positiva (se fosse negativa varrebbero considerazioni 

 perfettamente analoghe). Allora (Bianchi: Sugli spasi a tre dimensioni ecc., 

 Memorie dei XL), potremo scrivere : 



ds* = cu dx? + c 22 (dx 2 * + sen* x 2 dx 3 *);^ = ^ = ^ = ^ = 0 



1>X 2 1)X3 1)X % ~iX 3 

 ~ò ~ò ~ò 



(VII) Xi = ; X 2 = sen x 3 f- cot x 2 cos x 3 ; X 3 = (X! X 2 ) . 



l>x 3 1)X 2 ~òx 3 



Una ulteriore trasformazione simile per il precedente elemento lineare 

 del tipo 



xj + h (x 2 , x 3 ) + £ 3 (x 2 , x 3 ) (i = 0 oppure i = 1) 



óX\ vX 2 oX 3 



si vede subito che (a meno di una combinazione lineare delle precedenti) 

 è del tipo oppure x l ; otteniamo così i due gruppi 



~<ìXi ^)X\ 



(YIII) X! = — ; X 2 = sen x 3 — -4- cot x z cos x 3 — ; 



ì>x 3 ~òx 2 ~òx 3 



X 3 = (X! X 2 ) ; X 4 = x i — (i = 0 oppure i = 1) . 



~òX\ 



Si riconosce però facilmente coi metodi precedenti la impossibilità di un 

 gruppo G 5 . 



Rendiconti. 1903, Voi. XII, 2° fem. 9 



