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Se le Xi =cost fossero a curvatura negativa troveremmo i gruppi : 



(VII)' X I =^;X 2 = -^-^r L ;X 3 = ^-V + i(^-^)- L 



0X3 ÒX<l 0X3 ÒX-l LI 0X3 



(Vili)' X l =-^-;X 2 = ^--x 3 ~; 



0X3 0X2 0X3 



X 3 è=s x z + \ (e" 2 * 2 — x S2 ) — ; X 4 = x l fi = 0 oppure i = 1) . 



1)X 2 ; 2 ^#3 Ì<^1 



Caso II. r sia integrabile: esso sarà perciò un gruppo di movimenti 

 di una superficie a curvatura nulla e potremo porre 



(IX) Xi = ; X, = -2- ;X 3 = x 3 ^- — Xz 7 



3 



Il suo gruppo derivato (X! , X 2 ) sarà perciò al solito un gruppo di movi- 

 menti per le x x = cost ; ma poiché esso è transitivo tutto T sarà per le 

 Xi = cost un gruppo di movimenti (cfr. Nota precedente) e perciò (Bianchi, 

 loc. cit.) potremo porre : 



ds 2 = c n dx 2 -J- ^22 {dx 2 -J- dx 3 2 ) 



dove le <? t i , c 22 sono funzioni di X\. Si riconosce tosto che una trasforma- 

 zione che con le precedenti formi un gruppo, che sia simile per una forma 

 di quest' ultimo tipo, e che sia del tipo 



®l ^~ ' + £2 {x 2 , Xz) ~ + ìs (x 2 , x 3 ) 



~òXi ~ÒX 2 ~òXz 



si potrà ridurre a: 



noi troviamo così il seguente gruppo 



(X) X, = ; X 2 = x 3 r^- ; ■ X s = x 3 «A; 



0X2 0X3 oX 2 òXz 



X 4 = xj ~ — \-k ( %z z— + x 3 - — ) (i = Q oppure i = 1) (k = cost). 



y)X\ \ ÙX 2 OX3/ 



Se esistesse tanto una trasformazione — - — (- •■• , quanto una trasforma- 

 gli 



zione x x — + •- , si riconosce facilmente integrando le (7) che il Corrispon- 

 dici 



dente problema dinamico sarebbe del tipo {dx 2 -f- dx 2 -f- dx 3 2 , #1) ossia 

 si ridurrebbe al caso escluso del moto dei gravi. 



