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ove G indica una costante, positiva, finita, e se posto : 



x = £ -j- il) 



(p n (x) = P n (£ , rj) -\- ÌQ n (§ , ry) (n = 0 , 1 , 2 , ... , oo), 



una delle due serie 



oo - oo 



0 0 



£ determinata nei punti di un insieme uniformemente denso sul contorno 

 {finito) di una qualche area posta in r, mentre l'altra è tale in un punto 

 qualsivoglia di quest'area; la serie 



00 



0>(x)=y_n (p n (x) 

 1 



converge in egual grado in ogni area interna: quindi ivi rappresenta una 

 funzione ad un valore, analitica, regolare, è derivabile termine a ter- 

 mine, e via dicendo. 



Stabilito questo teorema mi valgo in seguito di esso per giungere ad 

 altri notevoli risultati: dapprima al risultato che le medesime proprietà 

 sopra dette possono per la serie <P{x) dimostrarsi mediante ipotesi assai 

 generali, fatte pei soli punti del contorno di r, e precisamente se, 

 essendo, come nel teorema dianzi enunciato, soddisfatta la disuguaglianza (1 j, 

 la serie medesima è lungo il contorno convergente (})", quindi al risultato 

 che, ove si ammetta la convergenza della 4>(x) in ogni punto interno a r, 

 a fine di concludere, che essa rappresenta in ogni area interna una funzione 

 ed un valore, analitica, regolare, basta anche sapere, che, per infiniti va- 

 lori di m, è, nei punti del detto insieme, soddisfatta la (1). 



1. Facciamo per il momento soltanto l' ipotesi, che, nei punti di un 

 insieme uniformemente denso sul contorno dell' area r, sia, per ogni m , sod- 

 disfatta la disuguaglianza (1). 



Vediamo quali conseguenze se ne possono senz' altro ricavare. 



Indichiamo con r' un'area interna a r, con t una variabile d'integra- 

 zione, e con y il contorno di r, percorso nel senso positivo. 



Per ogni x di r' sarà : 



m m 



V A -27wJ 7 t — x dx T 27tiJ 1 {t — x) 2 



( l ) Il risultato è analogo a quello stabilito da Runge nella Nota : Zur Theorie der 

 Analytischen Functionen, Acta Mathematica, VI, 1885, cioè che la convergenza uniforme 

 lungo il contorno produce la convergenza uniforme in ogni area interna; cfr. anche 

 Bucca, Sopra certi integrali e certi sviluppi in serie ; Rendic. del Gire. mat. di Paler- 

 mo, t. XII, 1898. 



