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e quindi: 

 (2) 



Zn <fn{x) 



< 



2rtd ' 



d m 



dxlr n(pn{x) 



< 



G7_ 

 2nd ì ' 



ove d rappresenta la minima distanza, che può intercedere fra .un punto del 

 contorno di r' ed un punto del contorno di r, e y la lunghezza di questo 

 ultimo. 



Se pertanto consideriamo le due successioni 



(3) P 0 (£ , r t ) , J_ n P«(£ , '/) . Z« P«(£ > V) . - . Z« P«(f , '/) , - 



0 0 0 



1 2 m 



(4) Qo(f , 1}) , J_ n Q M (£ , J?) , X" Q"(£ i »?) i - > Z« Qn(? • r l) i - . 



0 0 0 



troviamo, per le (2), qualunque sia m ed in ogni punto di r': 



Z« P«(£ , *?) 



< 



2nd ' 



Zn Q»(? » 1?) 



^ Zn Pn(* , *) 



7) 



„£. Qn(M) 



T"Z« P«(£,f) 

 o 



7> 



* Z« Q»(£ . 



t)S- 0 



< 

 < 

 < 



2tt^ 2 ' 



Le prime due disuguaglianze ci dicono, che le successioni (3) e (4) 

 sono composte di funzioni comprese tutte fra due limiti fìssi, finiti ; le altre 

 che le funzioni medesime sono egualmente continue in T*. 



Ne segue, (') che ognuna di quelle successioni deve ammettere una o più 

 funzioni limiti continue nell'area r\ alle quali successioni da esse estratte 

 tendono in egual grado ; di più che, se, ad esempio, P(£ , rj) è per la (3) una 

 di tali funzioni limiti continue, e 



£n Pn(? , V) , Z» P«(? . V) , - . Zn P«(£ , •• 



una successione, estratta dalla (3), che a P(£ , ry) tende in egual grado, la 

 corrispondente successione 



Zn Qn(? , »?) , Zn Qn(£ , 1?) , - , Zn Qn(£ > *?) , - > 

 0 



(i) Cfr. Arsela, 1. e, § 4. 



