— 100 — 



estratta dalla (4), ammette in r' un'unica funzione limite continua, o più 

 funzioni limiti continue, differenti fra loro per quantità costanti. 



2. Quanto abbiamo detto nel paragrafo precedente, ove si ammetta inoltre 



00 



cbe la serie 2L« P n (£ , rj) sia determinata (quindi convergente) nei punti di 



o 



un insieme uniformemente denso sul contorno (finito) di una qualche area r" 



00 



interna a r', e l'altra serie, XnQ»^» 1 ?)! determinata in un punto qual- 



o 



sivoglia di queir area, conduce facilmente a stabilire, che la 



00 00 00 



0 0 0 



converge in egual grado nell'area r'. 



Basterà provare che, sotto le ipotesi ora dette, ognuna delle successioni (3) 

 e (4) ammette un'unica funzione limite continua in F', perchè allora dalla 

 eguale continuità delle successioni medesime segue senz'altro, che esse ten- 

 dono uniformemente a tali funzioni limiti; e ciò è quanto occorre al nostro 

 scopo. 



Intanto la successione (3) deve ammettere un' unica funzione limite 

 continua nell'area r": supponendo infatti che più funzioni limiti continue 

 potessero ivi esistere per la (3), queste dovrebberoco incidere nei punti del 

 detto insieme, uniformemente denso sul contorno di T" ed, a cagione della 

 loro continuità, in tutti i punti di tale contorno; come funzioni armoniche, 

 finite e continue insieme alle loro derivate parziali di tutti gli ordini, do- 

 vrebbero poi coincidere nei punti interni a r". 



La successione (4) ammette anch' essa in quest' area una sola funzione 



00 



limite continua, giacché, per la convergenza della serie y_ n Q n (? , r t ) in un 



o 



punto, risultano nulle le costanti, di cui alla fine del paragrafo precedente. 



Ciò posto è facile stabilire il medesimo risultato per la rimanente 

 parte di r'. 



Se è possibile la (3), ad esempio, ammetta quivi più funzioni limiti 

 continue. 



Siano P(£ , rj) e P due di queste, e ad esse tendano rispettiva- 

 mente in egual grado le successioni 



ot, m 3 m n 



Zh P»(S , rj) , P M (£ , rj) , ... , P n (£ , rj) , ... 



0 0 0 



mi ì>iì_ mn 



