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Considerando le successioni corrispondenti, estratte dalla (4) 



m t m % m n 



X" Qn(£ . V) > 1-n Qn(? , »?) , ••• i Tn Q»(£ , »/) , - 

 0 0 0 



»»i wn mn 



Tn Qn(? , '/) > Z« Qn(£ » r /) , - , Z« Q»(£ s ? /) > - ' 

 0 0 o 



e chiamando Q(£ , ?;) , Q(£ , j?) le funzioni limiti continue, a cui esse tendono 

 in egual grado, veniamo ad avere, per tutto il campo t', due funzioni ad 

 un valore, analitiche, regolari 



P(M) + *'Q(M) , ?(* , , v) • 



Queste, coincidendo nei punti di F", devono coincidere anche in tutto il 

 resto di r', e però si ha: 



P(f, ifl Q(S,,) = Q(f > i 7 ). 



Il teorema enunciato in principio è dunque completamente dimostrato. 



3. Si può giungere alle stesse conclusioni, come abbiamo sopra asserito, 

 supponendo ancora che, nei punti di un insieme uniformemente denso sul 

 contorno dell'area r, sia, per ogni m, soddisfatta la disuguaglianza (1), e che 

 in ogni punto del contorno medesimo converga la serie 



00 

 0 



Evidentemente, per il teorema dianzi dimostrato, basterà far vedere che, 

 sotto le ipotesi ora dette, la serie ®{x) è, anche nei punti interni a r, 

 convergente. 



A tal uopo osserviamo che, essendo la 4>(x) convergente in tutti i 

 'punti del contorno di r, se, per ogni n fèsso, esistono su tale contorno 

 archi determinati, in ogni cui punto, per un qualche valore di p , si ha : 



essendo e un numero positivo, prefissato a piacere, la somma di questi 

 archi, al crescere infinito di n, tende a zero. 



