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Questo teorema è un' ovvia estensione di un teorema, stabilito dal 

 prof. Arzelà per le serie di funzioni reali di variabile reale ('), e la di- 

 mostrazione di esso si farebbe in modo analogo a quello tenuto pel suo caso 

 dall' Arzelà. Crediamo superfluo ripeterla qui. 



Assegnato un numero positivo e, piccolo a piacere, noi possiamo dunque 

 trovare un valore vi dell' indice n siffatto, che la somma degli archi deter- 

 minati del contorno di r, in ogni cui punto, per un qualche p, risulta: 



n'+p 



sia minore di s. 



Se x è un punto interno a r, di cui l rappresenta la minima distanza 

 dal contorno, e se poniamo, come sopra, pei punti di questo, sc = t, sarà a 

 più forte ragione minore di <?, la somma degli archi determinati, in ogni 

 cui punto, per un qualche p, è : 



/ 4 



^t—X 



> — 

 = 1 



Allora, osservando che, per ogni p fisso, può scriversi : 



1 



2m 



n £ P jMO J_ 9n(t) y . . ^ 



J \«t-x M - & 2mJ^ t - x M ~ 4« 9n(x) , 



noi giungiamo facilmente a concludere, che, nel punto x considerato, deve 

 essere : 



(5) 



n'-t-p 



< 



2Gf + gy 



2nl ' 



Infatti risaliamo alla definizione d' integrale. 



Scomposto il contorno dell'area r in parti à mediante i punti di 

 divisione : 



to i t\ i ti , ... , t-4 {ta = U) i 

 e, detto 6t h un punto qualsivoglia dell' arco {t h -\ , t h ) , l' integrale 



n' * X 



(!) Cfr. la Nota: Un teorema intorno alla serie di funzioni. Questi Rendiconti, 

 12 aprile 1885. 



