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una funzione ad un valore , analitica, regolare, che è derivabile termine 

 a termine, e via dicendo. 



4. Le ipotesi dei due teoremi precedenti producono la convergenza uni- 

 forme della serie <&{x) in ogni area interna a r, condizione non necessaria ('), 

 affinchè questa possa ivi rappresentare una funzione ad un valore, analitica, 

 regolare. 



Sorge pertanto l' idea di eseguire siili' argomento in discorso, nuove e 

 più generali ricerche ( 2 ). 



Noi vogliamo qui accennare ad un caso notevole, considerato già nella 

 citata Memoria, la cui trattazione dipende da quanto è stato detto nei primi 

 due paragrafi. 



Ammettiamo che la converga in ogni punto interno a r, e che 



nei punti di un insieme uniformemente denso sul contorno (e quindi in tutto 

 il contorno) la somma dei primi m termini si mantenga, per infiniti valori 

 di m : 



m y , m 2 , m 3 , ... , m n , ... 



minore in modulo di una costante positiva, finita. 



Da quanto abbiamo esposto nei detti paragrafi, noi ricaviamo che la 

 successione 



m l m« m 3 m n ■ 



Tu <fn{%) , <Pn{%) , Z« 9>n(#) ' - » X" SPn(#) , - i 



0 0 0 0 



in ogni area r", interna a r, tende uniformemente alla <P(x): questa ivi 

 rappresenta pertanto una funzione ad un valore, analitica, regolare, e di 

 più converge in egual grado semplicemente ( 3 ). Sarà inoltre derivabile ter- 

 mine a termine se la serie delle derivate è convergente, integrabile termine 

 a termine (lungo una linea finita contenuta in JT r ) se è convergente la serie 

 degli integrali. 



Concludendo possiamo dunque enunciare il teorema: 



Sotto le solite ipotesi per le singole funzioni q> n {%), se la serie 



00 



<P(#) = 2.n <?n(x) 

 o 



è in ogni punto interno a r convergente, e se, nei punti di un insieme 

 (!) Cfr. Runge, 1. c. 



( 2 ) Cfr. la mia Memoria citata in principio. 



( 3 ) Cfr. Dini, Fondamenti per la teoria delle funzioni ecc., pag. 103. 



