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forza viva, A; sono le forze impresse. Sia (2 b ik dxi dx, k , B;) un altro pro- 

 blema dinamico che con esso abbia comune le equazioni dei movimenti 

 (cfr. Painlevé, loc. cit.) ; siano ~B ik le quantità analoghe alle A !ft per questo 

 secondo problema; le equazioni dei movimenti sono rispettivamente, per i 

 due problemi: 



d 2 %i . y- irs) dx r dx s . . d 2 Xj . y- irs) dx r dx s \- 



dt 2 \ l ' j dt 2 r dt 2 ì i dt 2 



irs) ir s) 



Quindi < . > = < . 5 e perciò (cfr. la mia Mem. cit.) saranno identiche le 

 { t ) ( i )b 



geodetiche relative alle due forme quadratiche; di più poiché 



Ì^M = Z| r /Ì = I S"; 1 = ll2 ^ S i discriminanti delle due forme 



differiranno per un fattore costante. Sono ben noti i tipi di spazii (') su cui 

 si corrispondono le geodetiche. Basta ora tra questi scegliere quelli, i di- 

 scriminanti dei quali differiscono solo per un fattore costante. Troviamo così 

 subito che due tali spazii sono riducibili al tipo 



(11) ds 2 = X a,fo d-xi dx k + 2. a ih dxidx k -] \- T a™ dxi dx k . 



V" 1 «m-l +1 



( 1 2) ds 2 = C ! X a lh ' dai dx k -\-G 2 X a l k dxt dx k + ■ • • + C m ^_ a™ dxt dx k . 



dove Ci , C 2 , C m sono costanti, ni,n 2 ,...n m sono interi e le a$ 



(i = 1 , 2 , ... m) dipendono sono dalle x r (r = -fi 1 , -f- 2 , ... , nì). 

 (Si intende che n 0 = 0). Il numero Intero m può essere uguale al. Se m >> 1 



i-M 



diremo che l'elemento lineare (11) è spezzabile: la ^ja^^ d%rdx s sarà 



detta l' elemento parziale « «-f*U » eslmo anche se — = 1. E abbiamo 

 con questo linguaggio: che se l'elemento lineare B corrispondente a un 

 problema dinamico non è spezzabile neppure con un cambiamento di varia- 

 bili allora a quei problemi dinamici che hanno comuni con questo le equa- 

 zioni dei movimenti corrispondono elementi lineari simili all' elemento B. 



Chiaramente possiamo supporre che ciascuno degli elementi parziali non 

 sia spezzabile in elementi parziali neppure con un cambiamento di variabili, 

 perchè se così fosse e p. es. l'elemento parziale « i » eslmo si potesse con un cam- 

 biamento di variabili x n ._ x +\ , x„._ i+ 2 , ••• , x n . ridurre alla somma S di altri ele- 

 menti lineari, sostituiremmo in (ll)alpostodidetto elemento, la somma S a cui 

 esso equivale. Le variabili dell' i esim ° elemento parziale si diranno di specie i. 



(') Levi-Civita (Annali di Matematica, 1896). 



