— 147 — 



Notiamo di più che le A ij£ per l' elemento (11) se m > 1 , ed i , k sono di 

 specie differenti sono nulle, le < ^ j se m > 1 e i,k,l non sono della stessa 

 specie sono pure nulle. Di più se i , k , l sono della stessa specie per es. 

 della r esima le A ift , sono identiche tanto calcolate rispetto all'ele- 

 mento totale, quanto rispetto all' elemento parziale r esimo . Se noi pren- 



diamo un elemento lineare B = buAx n + x , x n +2 , ••• , x n ) dxi dx* 



tale che i simboli relativi < ^ j siano identici ai simboli corrispondenti per 



l'elemento (11), avremo perciò per un'osservazione precedente e poiché l'ele- 

 mento parziale r esimo non è spezzabile, che B è simile a questo elemento 

 parziale. 



Se noi vogliamo esprimere che il problema (ds 2 , Ai) dove ds 2 ha il 

 valore (11), e Ai sono le forze, è tale che le equazioni differenziali corrispon- 



— , troviamo subito le 



condizioni j ^ > == Ó {1 , k , l = 1 , 2 , ... , n m ) insieme all' altra condizione (che 



scriveremo più tardi) che il sistema covariante delle A» sia invariante per 



il nostro gruppo. Studiamo ora dapprima il sistema delle j^j = 0. Sei,k,l 



sono di una stessa specie, p. es. della specie r esima , si riconosce subito 

 dalle (11) per le osservazioni fatte poc' anzi che queste ultime equazioni non 

 mutano per nulla se invece di scriverle per la X e per 1' elemento totale 



"3 



le scriviamo per la Y (r) = £t~rr (che chiameremo la r em " a trasfor- 



tt 4-1 t>Xt 



mazione parziale) e per 1' «r» esimo elemento lineare parziale. Per questo ele- 

 mento la Y (r> è perciò geodetica, ossia ne trasforma in sè le geodetiche ; di più 

 la T^' ne moltiplica il discriminante per una costante. Ma poiché per ipo- 

 tesi detto elemento lineare non è spezzabile, la Y (r) sarà per questo ele- 

 mento una trasformazione simile per un teorema poco fa enunciato. Stu- 



tik)' 



diamo ora le equazioni j ^ j = 0 , quando i , k ,1 non appartengano alla 



stessa specie. Siano i , k , l simboli di specie differenti ; questa equazione si 

 riduce alla 



(12) _^£i_ — 0 



~òXi ~ì)X]i 



(specie di *l* ={= specie di i =J= specie di k =j= specie di l). 



