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Siano invece i , k di una stessa specie distinta dalla specie di l . L' equa- 

 r\ — 0 diventa: 



zione 



(13) 



~òXi ~òXk 



-r\t)i>xt 



(specie t = specie i = specie k =f= specie di l) 

 dove la t prende successivamente i valori dei simboli della specie di i , k. 

 Infine se i\t sono di una stessa specie differente dalla specie di k, la 



== 0 diventa: 



(specie t — specie di i = specie di l =j= specie di A) 

 le quali ultime ci danno 



ih 



" Hi 



(14) 



+ 1$ ft- 



<fu (specie t == specie i -= specie di £) 



dove è funzione delle sole variabili della specie degli indici i ,t ,1. No- 

 tiamo che se i , t ,1 sono di specie r esima , le equazioni che dicono essere 

 la r esima trasformazione parziale un puro movimento per l' r esimo elemento 

 parziale si possono scrivere 



X i a V Vv* + a< kv SP*i) = 0 {r = specie i = specie v — specie A:) . 



Infatti per le (14) queste equazioni equivalgono alle equazioni di Killing. 



In particolare perciò se le <p ih (r = specie i = specie k) sono tutte 

 nulle per una trasformazione infinitesima Y che operi soltanto sulle varia- 

 bili di specie r , la Y è un movimento per T r esimo elemento parziale ; i mo- 

 vimenti di questo tipo per una forma quadratica si diranno da noi movimenti 

 speciali. Per semplicità indichiamo con (ds% V r esimo elemento parziale ; e se con 

 Xj indichiamo una trasformazione infinitesima, indichiamo con X; (r) la corrispon- 

 dente r esima trasformazione parziale ; sia ora X una trasformazione infinitesima 

 che trasformi in sè le equazioni dei movimenti; siano Y l '- r) Y 2 W ...Y tr lr) tutte 

 le trasformazioni simili ammesse dall'elemento parziale r esimo ; anzi, poiché 

 un gruppo di similitudini a t r parametri o è tutto formato di puri movi- 

 menti o contiene un sottogruppo a « t r — 1 » parametri tutto formato di 

 movimenti, noi potremo supporre che al più una sola delle Y prece- 

 denti, per es. la Y, 0 '' sia una similitudine effettiva e che le altre siano 

 puri movimenti.. Allora poiché la trasformazione parziale X (rt è pure una 



tr 



similitudine per (ds 2 ) r , sarà X (r) = V ^ Y^ r) dove le (fi saranno funzioni 



