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delle variabili x, che non sono di specie r esima . Di più se la Yi (r> non 

 fosse un puro movimento, ma una similitudine propria, la y x dovrebbe essere 

 una costante. Se ora esistono almeno tre specie distinte e se mi y ri sono due 

 indici di specie distinta tra di loro e della specie r esima , sarà per le (12) 



ossia, poiché le Yi Cr) sono linearmente indipendenti, ^' = 0 . Cioè le 



funzioni (p t saranno somma di una funzione delle variabili di I a specie, di 

 una funzione delle variabili di IP specie ecc. Eicordando però che le % 

 non contengono le variabili di specie r esima , potremo perciò porre 



9i = + ■■■ + *Pi (r - v + </V' +1) + ••• + # 



imi 



dove con %pi w indichiamo una funzione delle variabili di specie t esima e dove, 

 se T/'"' fosse una similitudine propria per (ds 2 ) r le i/V" sarebbero altret- 

 tante costanti. 



Sostituendo nelle (13) e ricordando che le Yi Cr> sono linearmente indi- 

 pendenti, troviamo subito che le che sono funzioni soltanto delle varia- 

 bili di specie t esima , hanno rispetto (ds 2 ) t nulle tutte le derivate seconde 

 covarianti; ma è facile riconoscere, usando di una osservazione del profes- 

 sore Levi-Civita (cfr. Ricci, Sui gruppi continui di movimenti ecc. Società 

 dei XL 1899, pag. 77-78) che se una funzione u ha le derivate seconde 

 covarianti nulle rispetto a una forma dxj dxu , allora 



r,s ~ÒXl PXy 



è per la forma un movimento infinitesimo. Infatti, anche senza usare del 

 calcolo assoluto, notiamo che le condizioni affinchè Z sia un movimento per 

 la forma sono le : 



y |~a _j_ a . _2i_ _i_ an JL ù ~* u Y~\ — 0 



| ~iX s P}Xr ~òXli \ PX S / PXi \ 1)X S ' ! 



ossia 



2 + > { > A sr -f- aw + CL-kr \ — 0 



1>Zi ~ÒX n ^ — ~ÒX S ( V Sr ~ÒX r ^ ÌX h ^ *" PXi ) 



ossia 



_j_ yJ^ijy^ / ~òa>k __ Dan _ ~òcikt \ ) Q 



~r ( t \ ~ì%t Pxi J ) 



PXi Pxn 



ossia 



~ù 2 u v- Lik) ~òu 



-y rp=o c. d. d. 



