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Se perciò di una forma quadratica conosciamo il gruppo completo dei 

 movimenti, potremo con sole quadrature determinare le eventuali funzioni 

 corrispondenti a derivate seconde covarianti nulle. 



Esaminiamo ora infine le (14). Se noi in esse al posto delle ^ sosti- 

 tuiamo successivamente i coefficienti di Yi Cr) , T 2 (r) . . . Y tr w e indichiamo 

 (p ti ls) (s = 1 , 2 , ... , t r ), i risultati corrispondenti, queste equazioni diventano 



(15) y <p s (pu Cs) = <Pti {r = specie t = specie i) 



s 



dove le (p ti sono funzioni delle variabili della specie r esima . Per il risultato 

 generale che abbiamo in vista è inutile studiare più particolarmente queste 

 equazioni. Ora notiamo che se Xi sono le forze impresse, è Y X; S.vì la 

 loro potenza per un atto di movimento virtuale Sxì ; le X; sono perciò un 

 sistema covariante e perciò le ^_ k rs X s = X Cs) formano un sistema contro- 



variante. Se indichiamo ora con X rir2 ... rm , Wi r * •••■*»» rispettivamente due 

 sistemi uno covariante e uno controvariante e con X n ..'. rm , X''"> , * -rm le loro 



variazioni per una trasformazione X = >_ £ r -■— , si ha (cfr. mia Mem. cit.) 



xn...r m = x(x r i »•»•«) — y (x <r »- r «» -f- x r ^- r «* -j — ì . 



Nel nostro caso avremo perciò ancora le equazioni 



o = x i = y 6?,^+x r ^) 



o le equivalenti: 



o ciò eh' è lo stesso la trasformazione infinitesima V X (r) — — è permuta- 



bile con la V f r — . 



Otteniamo così finalmente: 



Per costruire tutti quei problemi dinamici tali che le equazioni dif- 

 ferenziali dei corrispondenti movimenti ammettono un gruppo continuo 

 indipendente dal tempo, e la cui forza viva è pure indipendente dal tempo 



