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si proceda nel modo seguente : Si costruiscano le forme quadratiche del 

 tipo (11), dove ciascuna delle forme parziali (supposte p. es. non ulterior- 

 mente spezzabili) ammette un gruppo di similitudini (ridotto per qualcuna 

 eventualmente all'identità); ciò che per i risultati dei miei lavori citati 

 sappiamo fare con sole quadrature ; per ciascuna di queste forme parziali 

 si determinino le eventuali funzioni non costanti a derivate seconde cova- 

 rianti nulle, ciò che abbiamo pure visto effettuabile con sole quadrature, 

 perchè di ciascuna di queste forme conosciamo il gruppo completo di 

 movimenti. Siano & (,> '. . '. 'Xmt i} % movimenti infinitesimi della « i n esima 

 forma parziale, (pi (i) . . . <p ni li) le funzioni corrispondenti a derivate se- 

 conde covarianti nulle (per qualche valore di i potrà essere ni = 0 oppure 

 Mi = 0) e siano Y L . . . Y a le eventuali trasformazioni simili ammesse da 

 qualcuna di queste forme. Consideriamo il gruppo generato dalle Y, dalle X 

 e da quelle trasformazioni infinitesime 



>> y> X; (i > dove i, j= i, 2 , . . . , m , (?=f=/) 



(se m sono le forme parziali) (q = 1 , 2 , . . . , nj), (l = 1 , 2 , . . . , mì) che 

 soddisfanno alle (14). Sia r o questo gruppo o un suo sottogruppo qual- 

 siasi e sia ^_ X ( " ^— una trasformazione infinitesima permutabile con 



ogni trasformazione di r (eventualmente identicamente nulla). I problemi 

 dinamici (ds 2 ,X t ) dove ds 2 è la forma (11), X t =y]a^X a,) sono tali 



V 



che le corrispondenti equazioni differenziali ammettono il gruppo r e 

 sono anzi i più generali problemi di questo tipo. 



I risultati precedenti non cambiano sostanzialmente (come è agevole 

 verificare) se una delle forme parziali si riduce a una forma su una sola 

 variabile, ossia al quadrato del differenziale di una sola variabile. 



È ora chiaro senz'altro, come ci attestano i metodi di Lie, che l' inte- 

 grazione dei prohlemi precedenti deve presentare notevoli particolarità : par- 

 ticolarità che non è per nulla difficile rilevare e di cui per ora io non mi 

 occuperò, per non allungare il presente lavoro. 



