mentre le equazioni a derivate parziali cui deve soddisfare l' invariante A 

 si riducono a: 



in cui le f devono soddisfare alle (32) (33) della Nota precedente, se la 3 

 deve lasciare invariata V equazione X w " ) = 0, e devono invece soddisfare alle 

 sole (33) se deve essere fi = 0 , cioè se la 3 deve lasciare invariata la 

 forma X (r) . 



Se A deve essere costante diverso da zero, bisogna che U = 0 sia 

 una conseguenza delle (32) (33) nel primo caso, e sia una conseguenza delle 

 sole (33) nel secondo caso. Ora chiamando, per brevità, E la matrice (31), 

 E li0 quella ottenuta da (31) sopprimendo la prima linea, E 0) i quella otte- 

 nuta sopprimendo la prima colonna, e E M quella ottenuta sopprimendo la 

 prima linea e la prima colonna, perchè si abbia quanto abbiamo detto è 

 necessario e basta che E e Ei )0 non abbiano la stessa caratteristica, ovvero 

 (nel secondo caso) che E 0 ,i e E M non abbiano la stessa caratteristica. 



Abbiamo perciò: 



Perchè esista una trasformazione infinitesima che lasci invariata la 

 equazione X (r) = 0 (ovvero rispettivamente la forma X (r) ) e per la quale 

 sia il covariante C (f * -1> = 0, mentre A non sia costante, è necessario e 

 basta che esista una soluzione comune A di tutte le equazioni a derivate 

 parziali (3), i cui coefficienti f rappresentino tutti i possibili sistemi di 

 soluzioni delle equazioni lineari (32) e (33) della Nota precedente (ovvero 

 rispettivamente solo (33)). 



Se poi deve essere C (r_1) = 0 e A = cost. ma diversa da zero, allora 

 per l'esistenza della trasformazione infinitesima è necessario e basta che 

 E e E 1)0 non abbiano la stessa caratteristica (ovvero rispettivamente che 

 E 0 ,i 6 E M non abbiano la stessa caratteristica). Ciò porta intanto che E,, 0 

 (rispettivamente E M ) deve essere zero, non potendo E avere caratteristica 

 maggiore di n-\-l, e quindi dovendo E 1)0 avere al più caratteristica 

 eguale ad n. 



La trattazione che di questo teorema abbiamo fatta nella Nota : 

 Ir as formazioni infinitesime e forme ai differenziali di 2° ordine, pubbli- 

 cata l'anno scorso in questi medesimi Rendiconti [(5), t. XI, 1902, 2° sem., 

 pp. 167-173, vedi pp. 171-172] è da modificarsi laddove si pone per con- 

 dizione la completa integrabilità della X C2) = 0 ; ciò perchè è da osservassi 

 che A soddisfa in generale solo ad alcune ma non a tutte le equazioni 

 del sistema aggiunto alla X <2) == 0. Di quel teorema del resto non abbiamo 



