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mai, nè in quell'occasione nè in altra, fatto alcun uso. C è però effettiva- 

 mente un caso in cui interviene la completa integrabilità, caso tanto più 

 notevole in quanto non si presenta per r = 1 cioè per le ordinarie equa- 

 zioni pfaffiane; ed è di esso che ora vogliamo trattare. 



Supponiamo che £ 0 = 0 sia una conseguenza delle equazioni (32) (33), 

 cioè che E e E 1)0 non abbiano la stessa caratteristica (e quindi E 1)0 sia zero). 



Poniamo : 



^•> + C = ^ p (<? = l>2,...r-l) 

 in modo che le equazioni (32) (33) si riducono facilmente a: 



( 4 ) Z .1 V>^ p = 0 



r-l 



(5) l y (j\ ... j ? i) ? + 2 y y , /, ... ,») $\ = o 



mentre la (3) diventa 



yA 



P=l i,— ' r "^ji"" W!p 



(6) y y . — — — = o. 



P=l tfo 1 '^J 1 '^P 



Nella equazione lineare (4) non compariscono le incognite f U) , e nella (6) 

 non compariscono che solo le Se quindi si ammette che per qualunque 

 sistema di valori £' che soddisfacciano la (4) si trovano sempre valori che 

 soddisfacciano la (5), allora A soddisferà a tutte le equazioni a derivate par- 

 ziali del sistema cosiddetto aggiunto alla equazione X (r) = 0 ('), e quindi 

 le equazioni del sistema aggiunto ammettendo una soluzione comune, la 

 X (r) == 0 sarà completamente integrabile, e la X 00 sarà propriamente il 

 prodotto di un fattore finito per il differenziale r mo di A ( 2 ). Abbiamo dunque 



(!) Per la nozione di sistema aggiunto vedi la mia Memoria negli Annali di Mate- 

 matica (3), t. VII, ovvero la Nota di Sinigallia [in Rend. Ist. Lomb. (2), t. 35, 1902, 

 p. 749. 



( 2 ) Questa ultima deduzione risulta immediatamente da quanto si sa sui sistemi 

 aggiunti, ma può anche dimostrarsi subito nel seguente modo : Se la (6) deve essere sod- 

 disfatta per tutti i sistemi di valori delle £' che soddisfanno la (4), i coefficienti di (4) 

 e (6) devono essere proporzionali e quindi 



Xv ... _j_ ì pA 



donde 



XC-) -= a drA-i 



