che nel caso indicato, per l'esistenza della trasformazione infinitesima 3 

 che lasci invariata X 0 ' = 0 è necessario che X <r) = 0 sia completamente 

 integrabile, e allora per la ricerca di 3, basta assumere per funzione A 

 l'integrale di X (r) = 0. 



È da notarsi che per r=l le variabili £ m spariscono, e quindi allora 

 le sole £' devono soddisfare le (4) e le (5), e perciò le (6) non rappresentano 

 più tutte le equazioni del sistema aggiunto. Quindi è solo per r > 1 che 

 vale il precedente teorema. 



3. Caso in cui è anche A = 0. — Facilmente possiamo ora stabilire 

 il teorema per il caso in cui sia C (r-1) = A = 0 ; caso che è specialmente 

 per noi interessante perchè sono le trasformazioni infinitesime ad esso relative 

 che si presentano per uno dei problemi di riduzione di Pfaff. 



In tal caso le equazioni cui devono soddisfare la £ sono tutte omogenee, 

 e si ha: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè esista una trasformazione 

 infinitesima che lasci invariata X (r) = 0 (ovvero rispettivamente la forma 

 X ( '>) e per cui sieno zero il covariante C"" -0 , e l'invariante A, è che sia 

 zero la matrice E {ovvero rispettivamente la matrice E 0!l ). 



E dopo di ciò passiamo ad una categoria più generale di trasformazioni 

 infinitesime. 



4. Trasformazioni infinitesime che lasciano invariata la equazione 

 X (r) = 0 a meno di differenziali esatti. — Una categoria di trasformazioni 

 infinitesime che ci è necessaria di considerare per le applicazioni che do- 

 vremo farne in seguito e che è più generale della precedente, è quella delle 

 trasformazioni che applicate alla X (r) danno per risultato, oltre che la forma 

 stessa moltiplicata per un fattore, una somma di differenziali esatti di vari 

 ordini, e propriamente : 



(7) 3X ir> — ii X ( '-> + dS V + 2 (— iy- ( r ) d'-r- Vtf> 



dove V sia una funzione finita delle x, e V <n . . . V (,_1) sieno delle forme 

 differenziali di ordini 1 , 2 , . . . r — 1 formanti una successione di quelle che 

 abbiamo chiamate canoniche nella Nota precedente, cioè tali che i coefficienti 

 a 1 , 2 , ... jx — 1 indici di V'f^ sieno tutti quelli che compaiono in V ( f* -1) . 



Diremo che tali trasformazioni infinitesime lasciano invariata la 

 equazione X (r) = 0 a meno di differenziali esatti. Se fi = 0 allora diremo 

 invece che esse lasciano invariata la forma a meno di differenziali 

 esatti. 



È necessario però, prima di procedere oltre, illustrare la ragione per 

 la quale, dovendo scegliere una somma di differenziali esatti, abbiamo scelto 



