per il caso di r pari, e 



yF 



7) r-1 F 



^o^r r dispari. 



La matrice dei coefficienti delle ? in queste equazioni lineari non è 

 più la matrice E, ma quella che colle notazioni del paragrafo 1, resta rap- 

 presentata con 



(12) ( M ) r +)M| r _ 1 + (M) r _ 2 + --- 



Formando ora il sistema di equazioni: 



p=l v-ip 



(13) \ T C/l -> «") Si*"* + . Z i/i -Jr-l H U-ìrU + =0 



(i=l ,2,...») 



si riconosce che j9er l'esistenza della trasformazione infinitesima della indi- 

 cata specie è necessario e basta che la funzione F e i coefficienti delle 

 varie F'f^ soddisfacciano al sistema di equazioni a derivate parziali : 



(u) z z oo> -ii m cc/i . • .y P ]> - 



P-'l ^i—ip "^J 1- "'^P P= 2 ij-i 3p 



r 



— 2 Z Z &"'jp F i»"*ip = 0 



p =1 i,—ip 



se r è pari (ovvero ad un sistema di analoghe equazioni, ma prive del- 

 l'ultima parte, se r è dispari), in cui le £ rappresentino un qualunque 

 sistema d'i soluzioni delle (13); o, in altri termini, è necessario e basta 

 che esistano delle F soddisfacenti a tutte queste equazioni a derivate par- 

 ziali. Se poi in (7) deve essale fi = 0, cioè se la 5 deve lasciare inva- 

 riata, a meno di differenziali esatti, la forma, non l'equazione, allora 

 fra le (13) bisogna sopprimere la prima. 



