Se poi si vuole che anche A sia zero, bisogna ancora considerare la 

 equazione 



(20) |- X '-à = 0 - 



La matrice dei coefficienti di tutte le equazioni lineari così ottenute è 

 precisamente una di quelle considerate nel paragrafo 1, e quindi possiamo 

 infine stabilire la seguente corrispondenza generale fra l'esistenza di trasfor- 

 mazioni infinitesime che lasciano invariata la equazione X (r) = 0 , (ovvero la 

 forma X (r) ) a meno di differenziali esatti dell'invariante A e dei covarianti C, 

 e le matrici a caratteristiche invarianti: 



All' annullarsi della matrice 



*M + f_ [(M) p + |Mj P ] + \M[ S+Ì + (M) s+2 + + (M) r 



P =i 



(se r — s è pari) 



ovvero 



eM + ± [(M) p + JMf p ] + (M) s+1 + )MU + + (M) r 



P =i 



(se r — s è dispari) 



in cui s è zero o i, corrisponde l'esistenza di trasformazioni infinitesime S 

 per le quali è zero il covariante C (s) , ed è o no zero l'invariante A se- 

 condochè e = l ovvero £ = 0, e che lasciano invariata l'equazione X (r) = 0 

 a meno dell'espressione 



(l — £ )d r A + § (— 1)p ( r ) d r ~P C ( P' . 

 P=s+i \Qf 



Se quella matrice ha caratteristica e, di tali trasformazioni ve 

 riè oo a . 



Se poi in luogo delle precedenti matrici si considerano quelle rap- 

 presentate colle W si ha l'analogo teorema, ma relativo alla forma X (r \ 

 anziché all'equazione X (r> = 0 . 



Per s = r — 1 ed e = 1 si ha il teorema ottenuto direttamente nel 

 paragrafo 3. 



All'esistenza di siffatte trasformazioni infinitesime corrisponde poi, come 

 abbiamo già detto e come dimostreremo nella prossima Nota, l'esistenza di 

 trasformazioni finite che diminuiscono il numero delle variabili nella forma 

 data, a meno di differenziali esatti. 



6. Forme differenziali di 1° ordine e r mo grado. — Come già altre 

 volte, stabiliamo ora brevemente anche i teoremi relativi alle forme di 1° or- 

 dine e r mo grado (vedi Nota II, § 5 e Nota III, § 5). 



Rendiconti. 1903, Voi. XII, 2° Sem. 24 



