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compiuto un ufficio importante. Essa evidentemente è un differenziale esatto 

 almeno di primo ordine di una espressione di ordine inferiore ad r, perchè 

 può scriversi 



dove però è da notare che la espressione sotto il segno d non è in generale 

 una forma del tipo solito considerato in tutte queste ricerche, cioè del tipo 

 delle X (r \ mentre abbiamo dimostrato nella Nota IV che tutta la (1) è in- 

 vece di tal tipo. 



Se Z tr-1) è il differenziale (r — l) mo di una funzione f e quindi tutte 

 le precedenti Z (1> , Z (2> , ... sono i differenziali 1° , 2° ... di /, la (1) diventa 

 il differenziale r mo di f se r è pari,, e diventa invece zero se r è dispari. 



Se f è pari diremo, per brevità, che (1) è un differenziale canonico. 



Se poi r è dispari assumeremo come differenziale canonico la espres- 

 sione : 



ammesso che le Ti soddisfacciano a tali relazioni che la (2) sia una forma 

 differenziale del solito tipo fondamentale, il che, se è sempre verificato 

 per il primo termine e per la quantità sottoposta al d nel secondo termine, 

 non sarà tuttavia verificato in generale per tutta la (2). Troveremo più tardi 

 le condizioni a ciò. È da osservare che la (2) diventa aneti essa il diffe- 

 renziale r mo esatto di f quando le Z ( p> diventano i differenziali dei di- 

 versi ordini della medesima f. 



Di questi differenziali canonici dimostreremo in seguito alcune pro- 

 prietà comuni, a proposito specialmente delle matrici a caratteristica inva- 

 riante ad essi relative, e dei loro covarianti evidenti. 



Ciò premesso enuncieremo il secondo problema nel seguente modo: 

 II. Trovare le condizioni perchè esistano trasformazioni di varia- 

 bili per cui la forma X (r) si riduca a T (r) -j- Z (r) dove T (rt contenga una 

 variabile di meno, e Z m sia un differenziale canonico contenente tutte 

 le variabili; indi trovare tutte le trasformazioni di tale natura. 



Se la Z (rt diventa un differenziale r mo , si ha come caso particolare il 

 problema di ridurre X (r) a T (r) -\-d r f, in cui T (r) contenga una variabile 

 di meno. 



La risoluzione di questi problemi (che per r = 2 già trattammo in una 

 Nota pubblicata in questi medesimi Rendiconti ( l ) ) può farsi con due me- 



d r-i- P z <p> 



(») 1903, 1° sem., pp. 31-41. 



