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todi, di cui uno è fondato sulla teoria delle trasformazioni infinitesime e sui 

 risultati ottenuti nelle Note IV e V, mentre l' altro è più diretto, ed è fon- 

 dato sulle formolo di trasformazione dei simboli a carattere invariantivo da 

 noi trovate nella Nota II. 



Del secondo metodo tratteremo in una delle Note seguenti. 



1. Soluzione del problema I col metodo delle trasformazioni infini- 

 tesime. — Sia 3 una trasformazione infinitesima di quelle considerate nel 

 § 3 della Nota V, cioè di quelle che lasciano invariata la X (r> == 0, e per 

 cui sieno zero A e C (r-1) . Formando la equazione a derivate parziali lineare 

 omogenea di primo ordine 



3f=0, 



sieno 



(3) ?/i = <fi{x) , y n -x = g> n -i(x) 



i suoi n — 1 integrali indipendenti, e alle (3) aggreghiamo una nuova ar- 

 bitraria funzione delle x 

 (3') y n = (p n (x) , 



colla sola condizione che le (3) (3') sieno indipendenti. 



Dico che la trasformazione rappresentata dalle formole (3) (3') ri- 

 solve il problema, e ogni trasformazione che risolve il problema deve es- 

 sere di questo tipo. 



Per modo che si ha anche: 



Il problema I è solubile o no secondochè esistono o no trasformazioni 

 infinitesime per le quali il covariante L 0) sia eguale ad X (n stessa mol- 

 tiplicata per un fattore finito J e per le quali sieno zero V invariante A 

 e il covariante C (r-1) . Perciò la condizione per V esistenza di tale 3 (con- 

 dizione già trovata nella Nota V) è la condizione per la risolubilità del 

 problema 7, e tutte le trasformazioni che risolvono il problema si tro- 

 vano col metodo suindicato. 



La dimostrazione di questo elegante teorema è delle più semplici. 



Trasformando la 3 nelle variabili y , essa si riduce a 



(4) Y= n 



e se devono essere zero l' invariante A e il covariante C 0 ' -1 ' trasformati, si 

 hanno le equazioni: 



T M = 0 



(5) { ((»,; I ; 8 )) T = 0 



((» ,y 1 ...y r _ 1 )) T =o 



