— 244 — 



se con T si rappresentano i coefficienti della forma trasformata di X (r) che 

 si indichi con Y (r> . 



Dalle (5) si deducono le 



(6) Y}j — 0 , ~Y>ìj l j — 0 , Yfyj^j — 0 "%nì\'"ìr— i t~ 0 



cioè la Y (rt non contiene mai la variabile y n sotto forma differenziale. Dico 

 che inoltre negli altri coefficienti si può sempre separare un fattore comune 

 contenente y n , mentre l' altro fattore ne resta indipendente. Giacché dovendo 

 il risultato della (4) sulla Y (r) essere eguale ad un fattore finito e molti- 

 plicato per Y (r) stessa (proprietà che naturalmente deve conservarsi colla 

 trasformazione), deve aversi 



(7) ^M^.-rrX 



~òy 



n 



perchè, per effetto delle (6), la variabile y n non figura in Y 00 che solo nei 

 coefficienti; ora da (7) si ha 



cioè 



il che prova che il rapporto di due coefficienti qualunque di Y (r) è indipen- 

 dente da y„ . Dunque si ha : 

 (9) Y (rt = fi T lr) 



in cui T Cr) non contiene y n . 



D' altra parte supponiamo che esista una trasformazione delle x nelle y 

 per cui la Y cr) acquisti la forma (9). Se noi formiamo la trasformazione in- 

 finitesima (4), si vede che sussistendo le (6) sussisteranno le (5), e quindi 

 per essa la C (r_1) e A sono zero. Inoltre sussistendo (8) sussiste (7) e quindi 

 la detta trasformazione infinitesima lascia invariata l'equazione Y trt = 0. 

 Essendo invariantive tutte queste proprietà, ne risulta che la trasformata 

 nelle x della (4) avrà, in rapporto a X (r) , le medesime proprietà, e quindi 

 resta dimostrato " rmazione che risolve il problema corrisponde 



ad una 3 avente re proprietà indicate. 



Operando (4) sul secondo membro di (9) si ha 



e questo risultato, per la (7), deve essere eguale a o"Y (r) cioè GfiT lr) , onde 



Dlog^ ^ dyn ' 



i>y n 



