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Per e «= 0 si ha fi '== 1 ; cioè : 



Za condizione necessaria e sufficiente perchè si possa trasformare 

 X (rt , senza fattore, in una forma con una variabile di meno, è che esista 

 una trasformazione infinitesima , per cui sia A = C (r_1) = 0 , e che appli- 

 cata a X (rt dia per risultato zero. La condizione a ciò è poi che la 

 matrice : 



Possiamo facilmente completare il teorema principale. Ricordiamo intanto 



che : La condizione per V esistenza della S è che la matrice indicata con E 

 nella Nota precedente, cioè 



abbia caratteristica v < n -j- 1 . 



Se ora è anche v <C.n, possiamo riapplicare il medesimo teorema sulla 

 forma T <r) che ha solo n — 1 variabili. Giacché si può far facilmente ve- 

 dere nello stesso modo con cui abbiamo proceduto nel caso del secondo or- 

 dine ('), che la caratteristica della E relativa alla Y (r) è la stessa di quella 

 della E relativa alla T (r) che differisce per un fattore dalla T (r) , e questa è 

 quindi la stessa di quella della E costruita per la X <r \ perchè la E è a carat- 

 teristica invariante. Ora la E costruita per la T (r) ha solo n colonne perchè 

 manca di quella colonna che corrisponde all' indice n , come manca di quelle 

 linee che dipendono dal medesimo indice. Di qui ne viene che è zero anche 

 la E relativa a T <r) , e che quindi si può similmente trasformare T (rt in 

 fi' U (r) dove U (r) contenga solo n — 2 variabili. Così seguitando si vede che : 



Se è v la caratteristica di E relativa ad X (r) , si può sempre tras- 

 formare la equazione X (r) = 0 in una contenente al più v — 1 variabili. 



2. Alcuni lemmi per la soluzione del problema II. — Per ragioni di 

 chiarezza sarà bene premettere alcuni lemmi che ci serviranno per la trat- 

 tazione del problema II, di cui tratteremo p» 11 " vrw " C!Q -f;uea^ < 



In primo luogo, supponiamo che le variabili bijui* * _iv,ate con y x ...y n 

 e che si ponga: 



(10) X?i-ip = T^-.y-p -J- Zj,.. v - ? 



dove le T non contengano la variabile y n e quelle fra esse per cui uno degli 

 indici è n siano zero. 



(') Vedi la mia Nota: Estensione di alcuni teoremi di Frobenius. Eend. Ist. 

 Lomb. (2), t. 35, 1902, pp. 875-882. 



sia zero. 



p=l 



