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Matematica. — Sulla deficienza della serie caratteristica 

 di un sistema lineare di curve appartenente ad una superficie 

 algebrica. Nota di F. Severi, presentata dal Socio C. Segre. 



Nella Memoria: Alcune proprietà fondamentali dei sistemi lineari di 

 curve tracciati sopra una superficie algebrica (') il prof. Castelnuovo di- 

 mostrò che sopra una superfìcie di generi V g , P a , la deficienza della serie 

 caratteristica di un sistema lineare completo non supera P 3 — P a , e come 

 conseguenza immediata di questa proporzione stabilì in modo esauriente il 

 teorema di Riemann-Roch per le superfìcie. 



Lo scopo di questa mia Nota è di dare una nuova dimostrazione molto 

 semplice del teorema di Castelnuovo e conseguentemente del teorema di 

 Riemann-Roch. 



Dirò subito che tra le proposizioni di geometria sopra una superfìcie, 

 sulle quali si fonda la mia dimostrazione, quelle che hanno carattere più 

 elevato, si riferiscono alla proprietà fondamentale dell'aggiunzione e alla 

 dimensione del sistema lineare segato sopra una superfìcie F dello spazio 

 ordinario dalle aggiunte di un ordine abbastanza alto; la qual dimensione, 

 com' è noto, può calcolarsi direttamente con le forai ole di postulazione nel 

 caso delle singolarità ordinarie, oppure, prescindendo dalla natura delle sin- 

 golarità di F, nel modo indicato dal prof. Enriques al n. 40 della sua Intro- 

 duzione alla geometria sopra le superficie algebriche ( 2 ). 



Esporrò qui le linee generali della dimostrazione sviluppata in questa 

 Nota. 



Assunto come modello proiettivo dell'ente co 2 una superficie d'ordine n, 

 priva di punti multipli in uno spazio S r , dopo averla proiettata generica- 

 mente sullo spazio ordinario in una superfìcie E, con linea doppia e punti 

 tripli, della quale sia | C j il sistema delle sezioni piane, deduco anzitutto 

 dalla dimensione effettiva del sistema di curve segato su F dalle superficie 

 aggiunte di un ordine k abbastanza alto, un limite inferiore per la dimen- 

 sione del sistema completo \k0\. Dimostro poi che sopra la curva D, 

 sezione di F con una superfìcie K d'ordine Jc, le superfìcie di un ordine 

 qualunque passanti pei punti doppi della D segano, fuori di questi, una 

 serie lineare completa. 



Da ciò si rileva immediatamente che se k è abbastanza grande, le 

 superfìcie d'ordine n — 4 aggiunte ad F (supposte esistenti), segano sopra 



(>) Annali di Matematica (2), t. 25 (1897). 

 (*) Memorie dei XL (3), t. 10 (1896). 



