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una curva kC una serie completa: basta infatti scegliere k^>n — 4, perchè 

 accada che ogni superficie d'ordine n — 4 passante pei punti doppi di D, 

 contenga in conseguenza la linea doppia, e quindi sia aggiunta ad F. Così 

 trovasi che la dimensione della serie completa residua della serie caratteri- 

 stica g„ k rispetto alla serie canonica di AC, è uguale a V g — 1. 



D'altronde questa dimensione si può anche calcolare in funzione dei 

 caratteri della serie g n profittando del teorema di Riemann-Roch, relativo 

 alle serie lineari sopra una curva. Confrontando l'uguaglianza che in tal 

 modo si ottiene, con la disuguaglianza a cui soddisfa la dimensione di \fcC\, 

 si trova che la deficienza di g nk non supera P^ — P a . 



Stabilito ciò, si scelga k così grande che \kG\ seghi su C una serie 

 completa e che al sistema residuo, \{k — 1)C|, si possano applicare tutte le 

 considerazioni precedenti. Allora con un semplice ragionamento che trovasi 

 aln. 30 della citata Memoria di Castelnuovo( 1 ), si dimostra che la deficienza à 

 della serie caratteristica di C, non supera quella della serie caratteristica di 

 (k — 1) C, e quindi che ó < P g — P a . 



Una volta dimostrata questa proprietà pel sistema |C|, facilmente si 

 estende ad ogni altro sistema. 



In questo riassunto, per semplificare, mi son limitato al caso P g >■ 0 . 

 Nel caso P g = 0 la dimostrazione non è sostanzialmente differente. 



1. Data una superficie d'ordine n, priva di punti multipli, indichiamo 

 con F una sua proiezione generica sullo spazio ordinario, la quale sarà dotata 

 soltanto di una linea doppia e di punti tripli, che lo sono anche per questa 

 linea. 



Diciamo |C| il sistema delle sezioni piane di F, che sieno di genere n, 

 ed r'n la dimensione del sistema completo \{kG)'\ aggiunto al sistema \kC\, 

 di grado n k , genere 7t h , multiplo secondo k del sistema |C|. 



Poiché, allorquando k è abbastanza grande, \ (kC)'\ sega su kG una serie 

 canonica avente la deficienza P r; — P a ( 2 ), sarà : 



!>*— 1 — P, + P a )_l 



la dimensione del sistema residuo | (kC)' — kC\. Ma questa dimensione è 

 uguale a P 9 — 1, perchè il sistema residuo suddetto differisce al più dal 

 sistema canonico per componenti fisse, dunque avremo: 



r' h = 7i k —l-{-? a . 



( 1 ) Questo ragionamento, come avverte il prof. Castelnuovo, gli fu suggerito da un 

 paragrafo (IV, 1) delle Ricerche di geometria... , del prof. Enriques (Memorie di To- 

 rino, 1893). 



( 2 ) Enriques, Introduzione, n. 40. 



